Środek ciężkości obszaru D z całek o zadanej gęstości

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
shotgungtasa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 17 cze 2018, o 12:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 1 raz

Środek ciężkości obszaru D z całek o zadanej gęstości

Post autor: shotgungtasa » 17 cze 2018, o 13:12

Mam takie zadanko:
Oblicz środek ciężkości obszaru \(\displaystyle{ D}\) ograniczonego wykresami \(\displaystyle{ y=x+1}\) oraz \(\displaystyle{ y=x^{2}-1}\) o zadanej gęstości \(\displaystyle{ \rho(x,y)=ky}\).
Jeśli można, to prosił bym o całkowite rozwiązanie. Mam obliczoną powierzchnię z tego obszaru, ale też nie jestem pewien czy dobrze to zrobiłem, dlatego chciał bym sprawdzić.
Ostatnio zmieniony 17 cze 2018, o 22:18 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Tytuły tematów rozpoczynaj od wielkiej litery.

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 757 razy

Re: Środek ciężkości obszaru D z całek o zadanej gęstości

Post autor: SlotaWoj » 17 cze 2018, o 23:04

W tematu zadania wynika, że poniżej osi \(\displaystyle{ 0y}\) gęstość jest ujemna. Czy na pewno tak ma być?
Zakładam, że masz obliczyć współrzędne środka masy, a czy masa elementarna może być ujemna?

We wzorze na współrzędną \(\displaystyle{ y}\)-kową środka masy (dla współrzędnej \(\displaystyle{ x}\)-wej analogicznie):
  • \(\displaystyle{ y_s=\frac{\iint_D \varrho(x,y)\,y\,dD}{\iint_D \varrho(x,y)\,dD}}\)
w mianowniku jest masa, a nie powierzchnia.

Możliwe jest też, że masz obliczyć położenie wypadkowej pochodzącej od obciążenia ciągłego o zmiennej wartości (ono może być ujemne), ale wówczas nie mówimy o gęstości i wtedy w mianowniku odpowiedniego i podobnego do tego co powyżej wzoru jest powierzchnia.

shotgungtasa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 17 cze 2018, o 12:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 1 raz

Re: Środek ciężkości obszaru D z całek o zadanej gęstości

Post autor: shotgungtasa » 18 cze 2018, o 06:20

Tak mam obliczyć współrzędne środka masy. W takim razie jeżeli masa elementarna wyszłaby ujemna, to właściwym było by wstawienie jej do wartości bezwzględnej? I czy dobrze policzyłem powierzchnię? Wyszło mi \(\displaystyle{ 7,5}\).

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 757 razy

Re: Środek ciężkości obszaru D z całek o zadanej gęstości

Post autor: SlotaWoj » 18 cze 2018, o 07:57

shotgungtasa pisze:Tak mam obliczyć współrzędne środka masy, w takim razie jeżeli masa elementarna wyszłaby ujemna. to właściwym było by wstawienie jej do wartości bezwzględnej?
W temacie zadania powinno być wyraźnie napisane, że \(\displaystyle{ \varrho(x,y)=\left|kx\right|}\) .
shotgungtasa pisze:... I czy dobrze policzyłem powierzchnię? Wyszło mi \(\displaystyle{ 7,5}\).
Powierzchnia wynosi \(\displaystyle{ 4,5}\). Ale (pisałem wcześniej) ta całka w mianowniku to masa, a nie powierzchnia.

shotgungtasa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 17 cze 2018, o 12:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 1 raz

Re: Środek ciężkości obszaru D z całek o zadanej gęstości

Post autor: shotgungtasa » 18 cze 2018, o 13:39

Ok, dzięki wielkie, teraz powinno pójść z górki.

ODPOWIEDZ