Matematyka.pl

Witam. Mam problem z policzeniem całki wymiernej.

\(\displaystyle{ \int\frac{1}{2x- 3x^{2} }}\)

Chciałem załatwić to zadanko licząc deltę i rozbić na ułamki proste, jednak wynik który mi wyszedł był błędny. Sprawdziłem w WolframAlpha i tam podano mi metodę, by mianownik potraktować jako:

\(\displaystyle{ -3x^{2} +2x = x ^{2} +2ax + a ^{2}}\) ,

z czego wychodzi, że jest to równe \(\displaystyle{ -3\left( x ^{2} - \frac{2x}{3}\right),\ 2a = -\frac{2}{3}}\) , analogicznie \(\displaystyle{ a= - \frac{1}{3}}\) i następnie przez serię podstawień.

Dlaczego moja metoda jest błędna i skąd sie wzięło zastosowanie powyższej? Czy w takim razie powinienem ją stosować przy każdym przypadku kiedy w funkcji kwadratowej w mianowniku \(\displaystyle{ c=0}\) ?

Dziękuję za odpowiedzi.

Nie pokazujesz szczegółów obliczeniowych, zatem trudno powiedzieć, gdzie robisz błąd. Rozkład na ułamki proste to dobre podejście, ale nie wiem, po co Ci Delta?

\(\displaystyle{ 2x-3x^2=x(2x-3)}\)

Mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x(2x-3)} =-\frac 1 3\cdot \frac{2x-3-2\cdot x}{x(2x-3)} =\\
=-\frac{1}{3x}+\frac 2 3\cdot \frac{1}{2x-3}}\)
i to już łatwo scałkować, rozbijając na sumę całek.

Premislav pisze:\(\displaystyle{ 2x-3x^2=x({\red{2x-3}})}\)

Błąd!

Powinno być:

• \(\displaystyle{ 2x-3x^2=x(2-3x)}\)
  
  \(\displaystyle{ \frac{1}{x(2-3x)} =\frac{1}{2}\cdot\frac{2-3x+3x}{x(2-3x)} =
  \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}+\frac {3}{2}\cdot\frac{1}{2-3x}}\)

@visht
To co napisałeś na podstawie sugestii WolframAlpha jest bez sensu, bo nie może być:

• \(\displaystyle{ 2a=\frac{2}{3}\ \wedge\ a^2=0}\)

Coś musiałeś „pokręcić”.

No tak, przepraszam bardzo, aż mi głupio, że taką bzdurę napisałem.
Niestety często przestawiam znaki (częściej mi się to zdarza, gdy piszę coś odręcznie), być może to jakiś rodzaj dysleksji (nie badałem tego, w każdym razie w moim przypadku nie da się tego całkowicie wyeliminować – przynajmniej znanymi mi – ćwiczeniami koncentracji, ponieważ próbowałem przez 15 lat). Tak tutaj z \(\displaystyle{ 2-3x}\) zrobiło się \(\displaystyle{ 2x-3}\).