Całka wymierna

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
visht
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 13 cze 2018, o 16:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Całka wymierna

Post autor: visht » 13 cze 2018, o 16:45

Witam. Mam problem z policzeniem całki wymiernej.

\(\displaystyle{ \int\frac{1}{2x- 3x^{2} }}\)

Chciałem załatwić to zadanko licząc deltę i rozbić na ułamki proste, jednak wynik który mi wyszedł był błędny. Sprawdziłem w WolframAlpha i tam podano mi metodę, by mianownik potraktować jako:

\(\displaystyle{ -3x^{2} +2x = x ^{2} +2ax + a ^{2}}\) ,

z czego wychodzi, że jest to równe \(\displaystyle{ -3\left( x ^{2} - \frac{2x}{3}\right),\ 2a = -\frac{2}{3}}\) , analogicznie \(\displaystyle{ a= - \frac{1}{3}}\) i następnie przez serię podstawień.

Dlaczego moja metoda jest błędna i skąd sie wzięło zastosowanie powyższej? Czy w takim razie powinienem ją stosować przy każdym przypadku kiedy w funkcji kwadratowej w mianowniku \(\displaystyle{ c=0}\) ?

Dziękuję za odpowiedzi.
Ostatnio zmieniony 14 cze 2018, o 00:39 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: kompozycja

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14383
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 4730 razy

Całka wymierna

Post autor: Premislav » 13 cze 2018, o 16:49

Nie pokazujesz szczegółów obliczeniowych, zatem trudno powiedzieć, gdzie robisz błąd. Rozkład na ułamki proste to dobre podejście, ale nie wiem, po co Ci Delta?

\(\displaystyle{ 2x-3x^2=x(2x-3)}\)

Mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x(2x-3)} =-\frac 1 3\cdot \frac{2x-3-2\cdot x}{x(2x-3)} =\\ =-\frac{1}{3x}+\frac 2 3\cdot \frac{1}{2x-3}}\)
i to już łatwo scałkować, rozbijając na sumę całek.

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 757 razy

Całka wymierna

Post autor: SlotaWoj » 14 cze 2018, o 01:22

Premislav pisze:\(\displaystyle{ 2x-3x^2=x({\red{2x-3}})}\)
Błąd!

Powinno być:
  • \(\displaystyle{ 2x-3x^2=x(2-3x)}\)

    \(\displaystyle{ \frac{1}{x(2-3x)} =\frac{1}{2}\cdot\frac{2-3x+3x}{x(2-3x)} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}+\frac {3}{2}\cdot\frac{1}{2-3x}}\)

@visht
To co napisałeś na podstawie sugestii WolframAlpha jest bez sensu, bo nie może być:
  • \(\displaystyle{ 2a=\frac{2}{3}\ \wedge\ a^2=0}\)
Coś musiałeś „pokręcić”.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14383
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 4730 razy

Re: Całka wymierna

Post autor: Premislav » 14 cze 2018, o 07:42

No tak, przepraszam bardzo, aż mi głupio, że taką bzdurę napisałem.
Niestety często przestawiam znaki (częściej mi się to zdarza, gdy piszę coś odręcznie), być może to jakiś rodzaj dysleksji (nie badałem tego, w każdym razie w moim przypadku nie da się tego całkowicie wyeliminować – przynajmniej znanymi mi – ćwiczeniami koncentracji, ponieważ próbowałem przez 15 lat). Tak tutaj z \(\displaystyle{ 2-3x}\) zrobiło się \(\displaystyle{ 2x-3}\).

ODPOWIEDZ