Oblicz długość spirali logarytmicznej

[rzeznikzblaviken]

Spirala logarytmiczna jest opisana wzorem \(\displaystyle{ \gamma (t) = (e^{-t}\cos (t), e^{-t}\sin (t), 0 \leq t < \infty}\) Oblicz jej długość \(\displaystyle{ L = \int\limits^{\infty}_{0}||\gamma'(t)||dt}\)

Czyli
\(\displaystyle{ \gamma'(t) = \sqrt{(e^{-t}(\sin (t)-\cos (t))^2 + (e^{-t}(\cos (t)-\sin (t))^2}}\)

Więc
\(\displaystyle{ \int\gamma'(t) = \frac{\sqrt{2}\sin (t)\sqrt{-e^{-2t}(\sin (2t)-1)}}{\cos (t)-\sin (t)}}\)

Z tego wychodzi mi \(\displaystyle{ 0}\). Więc się zdziwiłem, sprawdziłem w wolframie, pochodna - dobrze, całka nieoznaczona - dobrze, a całka oznaczona pokazuje wynik \(\displaystyle{ 0,953063}\).
Proszę o pomoc.

[Janusz Tracz]

Coś namieszałeś z tymi pochodnymi na samym początku. Popracuj też nad zapisem bo o ile większości rzeczy można się domyślić to wykładowcy nie będą się domyślać.

\(\displaystyle{ ||\gamma'(t)||=\left| \left| \frac{ \mbox{d }\left( e^{-t}\cos(t)\right) }{ \mbox{d}t}, \frac{ \mbox{d}\left( e^{-t}\sin(t)\right) }{ \mbox{d}t} \right| \right|= \frac{\sqrt{\left( \cos t-\sin t\right)^2+\left( \cos t+\sin t\right)^2 } }{e^t}}\)

I o ile się nie pomyliłem to się ładzie uprości do \(\displaystyle{ ||\gamma'(t)||= \frac{ \sqrt{2} }{e^t}}\). Tak więc długość całej krzywej to

\(\displaystyle{ L = \int\limits^{\infty}_{0}||\gamma'(t)|| \mbox{d}t=L = \int\limits^{\infty}_{0}\frac{ \sqrt{2} }{e^t} dt}\)

a to już łatwo policzyć.-- 27 maja 2018, o 21:56 --A nie przepraszam też Ci wyszła taka pochodna. Masz ok, tylko uprość to do tej postaci którą padałem

[janusz47]

Rachunki znacznie się uproszczają, jeśli przeprowadzimy obliczenia w płaszczyźnie zespolonej.

\(\displaystyle{ z = e^{(i - \alpha)t}.}\)

\(\displaystyle{ l = \int_{0}^{T} |z'(t)|dt.}\)

\(\displaystyle{ z'(t) = (i -\alpha)e^{(i -\alpha)t}, \ \ |z'(t)| = \sqrt{1+\alpha^2}e^{-\alpha t}.}\)

Długość spirali Archimedesa:

\(\displaystyle{ l = \sqrt{1 +\alpha^2}\int_{0}^{T} e ^{-\alpha t}dt = \frac{\sqrt{1- \alpha^2}}{-\alpha}e^{-\alpha t}|_{0}^{T} = \frac{\sqrt{1 +\alpha^2}}{\alpha}( 1 - e^{-\alpha T}).}\)

\(\displaystyle{ l_{\infty} = \frac{\sqrt{1 +\alpha^2}}{\alpha}.}\)

[rzeznikzblaviken]

Coś namieszałeś z tymi pochodnymi na samym początku. Popracuj też nad zapisem bo o ile większości rzeczy można się domyślić to wykładowcy nie będą się domyślać.

\(\displaystyle{ ||\gamma'(t)||=\left| \left| \frac{ \mbox{d }\left( e^{-t}\cos(t)\right) }{ \mbox{d}t}, \frac{ \mbox{d}\left( e^{-t}\sin(t)\right) }{ \mbox{d}t} \right| \right|= \frac{\sqrt{\left( \cos t-\sin t\right)^2+\left( \cos t+\sin t\right)^2 } }{e^t}}\)

I o ile się nie pomyliłem to się ładzie uprości do \(\displaystyle{ ||\gamma'(t)||= \frac{ \sqrt{2} }{e^t}}\). Tak więc długość całej krzywej to

\(\displaystyle{ L = \int\limits^{\infty}_{0}||\gamma'(t)|| \mbox{d}t=L = \int\limits^{\infty}_{0}\frac{ \sqrt{2} }{e^t} dt}\)

a to już łatwo policzyć.

-- 27 maja 2018, o 21:56 --

A nie przepraszam też Ci wyszła taka pochodna. Masz ok, tylko uprość to do tej postaci którą padałem

Miałem jakiś znak pomylony, teraz mi wyszło. Dzięki.