Spirala logarytmiczna jest opisana wzorem \(\displaystyle{ \gamma (t) = (e^{-t}\cos (t), e^{-t}\sin (t), 0 \leq t < \infty}\) Oblicz jej długość \(\displaystyle{ L = \int\limits^{\infty}_{0}||\gamma'(t)||dt}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \gamma'(t) = \sqrt{(e^{-t}(\sin (t)-\cos (t))^2 + (e^{-t}(\cos (t)-\sin (t))^2}}\)
Więc
\(\displaystyle{ \int\gamma'(t) = \frac{\sqrt{2}\sin (t)\sqrt{-e^{-2t}(\sin (2t)-1)}}{\cos (t)-\sin (t)}}\)
Z tego wychodzi mi \(\displaystyle{ 0}\). Więc się zdziwiłem, sprawdziłem w wolframie, pochodna - dobrze, całka nieoznaczona - dobrze, a całka oznaczona pokazuje wynik \(\displaystyle{ 0,953063}\).
Proszę o pomoc.
Oblicz długość spirali logarytmicznej
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 29 kwie 2018, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Niemcy
- Podziękował: 1 raz
Oblicz długość spirali logarytmicznej
Ostatnio zmieniony 28 cze 2018, o 20:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Oblicz długość spirali logarytmicznej
Coś namieszałeś z tymi pochodnymi na samym początku. Popracuj też nad zapisem bo o ile większości rzeczy można się domyślić to wykładowcy nie będą się domyślać.
\(\displaystyle{ ||\gamma'(t)||=\left| \left| \frac{ \mbox{d }\left( e^{-t}\cos(t)\right) }{ \mbox{d}t}, \frac{ \mbox{d}\left( e^{-t}\sin(t)\right) }{ \mbox{d}t} \right| \right|= \frac{\sqrt{\left( \cos t-\sin t\right)^2+\left( \cos t+\sin t\right)^2 } }{e^t}}\)
I o ile się nie pomyliłem to się ładzie uprości do \(\displaystyle{ ||\gamma'(t)||= \frac{ \sqrt{2} }{e^t}}\). Tak więc długość całej krzywej to
\(\displaystyle{ L = \int\limits^{\infty}_{0}||\gamma'(t)|| \mbox{d}t=L = \int\limits^{\infty}_{0}\frac{ \sqrt{2} }{e^t} dt}\)
a to już łatwo policzyć.-- 27 maja 2018, o 21:56 --A nie przepraszam też Ci wyszła taka pochodna. Masz ok, tylko uprość to do tej postaci którą padałem
\(\displaystyle{ ||\gamma'(t)||=\left| \left| \frac{ \mbox{d }\left( e^{-t}\cos(t)\right) }{ \mbox{d}t}, \frac{ \mbox{d}\left( e^{-t}\sin(t)\right) }{ \mbox{d}t} \right| \right|= \frac{\sqrt{\left( \cos t-\sin t\right)^2+\left( \cos t+\sin t\right)^2 } }{e^t}}\)
I o ile się nie pomyliłem to się ładzie uprości do \(\displaystyle{ ||\gamma'(t)||= \frac{ \sqrt{2} }{e^t}}\). Tak więc długość całej krzywej to
\(\displaystyle{ L = \int\limits^{\infty}_{0}||\gamma'(t)|| \mbox{d}t=L = \int\limits^{\infty}_{0}\frac{ \sqrt{2} }{e^t} dt}\)
a to już łatwo policzyć.-- 27 maja 2018, o 21:56 --A nie przepraszam też Ci wyszła taka pochodna. Masz ok, tylko uprość to do tej postaci którą padałem
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Oblicz długość spirali logarytmicznej
Rachunki znacznie się uproszczają, jeśli przeprowadzimy obliczenia w płaszczyźnie zespolonej.
\(\displaystyle{ z = e^{(i - \alpha)t}.}\)
\(\displaystyle{ l = \int_{0}^{T} |z'(t)|dt.}\)
\(\displaystyle{ z'(t) = (i -\alpha)e^{(i -\alpha)t}, \ \ |z'(t)| = \sqrt{1+\alpha^2}e^{-\alpha t}.}\)
Długość spirali Archimedesa:
\(\displaystyle{ l = \sqrt{1 +\alpha^2}\int_{0}^{T} e ^{-\alpha t}dt = \frac{\sqrt{1- \alpha^2}}{-\alpha}e^{-\alpha t}|_{0}^{T} = \frac{\sqrt{1 +\alpha^2}}{\alpha}( 1 - e^{-\alpha T}).}\)
\(\displaystyle{ l_{\infty} = \frac{\sqrt{1 +\alpha^2}}{\alpha}.}\)
\(\displaystyle{ z = e^{(i - \alpha)t}.}\)
\(\displaystyle{ l = \int_{0}^{T} |z'(t)|dt.}\)
\(\displaystyle{ z'(t) = (i -\alpha)e^{(i -\alpha)t}, \ \ |z'(t)| = \sqrt{1+\alpha^2}e^{-\alpha t}.}\)
Długość spirali Archimedesa:
\(\displaystyle{ l = \sqrt{1 +\alpha^2}\int_{0}^{T} e ^{-\alpha t}dt = \frac{\sqrt{1- \alpha^2}}{-\alpha}e^{-\alpha t}|_{0}^{T} = \frac{\sqrt{1 +\alpha^2}}{\alpha}( 1 - e^{-\alpha T}).}\)
\(\displaystyle{ l_{\infty} = \frac{\sqrt{1 +\alpha^2}}{\alpha}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 29 kwie 2018, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Niemcy
- Podziękował: 1 raz
Oblicz długość spirali logarytmicznej
Miałem jakiś znak pomylony, teraz mi wyszło. Dzięki.Janusz Tracz pisze:Coś namieszałeś z tymi pochodnymi na samym początku. Popracuj też nad zapisem bo o ile większości rzeczy można się domyślić to wykładowcy nie będą się domyślać.
\(\displaystyle{ ||\gamma'(t)||=\left| \left| \frac{ \mbox{d }\left( e^{-t}\cos(t)\right) }{ \mbox{d}t}, \frac{ \mbox{d}\left( e^{-t}\sin(t)\right) }{ \mbox{d}t} \right| \right|= \frac{\sqrt{\left( \cos t-\sin t\right)^2+\left( \cos t+\sin t\right)^2 } }{e^t}}\)
I o ile się nie pomyliłem to się ładzie uprości do \(\displaystyle{ ||\gamma'(t)||= \frac{ \sqrt{2} }{e^t}}\). Tak więc długość całej krzywej to
\(\displaystyle{ L = \int\limits^{\infty}_{0}||\gamma'(t)|| \mbox{d}t=L = \int\limits^{\infty}_{0}\frac{ \sqrt{2} }{e^t} dt}\)
a to już łatwo policzyć.
-- 27 maja 2018, o 21:56 --
A nie przepraszam też Ci wyszła taka pochodna. Masz ok, tylko uprość to do tej postaci którą padałem