Całka nieoznaczona

[stuart clark]

\(\displaystyle{ \displaystyle \int^{\frac{\pi}{6}}_{0}\ln^2(2\sin x)\:dx}\)

[SlotaWoj]

To akurat jest całka oznaczona.
Całka nieoznaczona nie wyraża się przez funkcje elementarne, więc tylko numerycznie można obliczyć Twoją całkę.
podaje, że równa się ona ok. \(\displaystyle{ 1,00483}\) .

[Premislav]

Całka nieoznaczona nie wyraża się przez funkcje elementarne, więc tylko numerycznie można obliczyć Twoją całkę.

Ta implikacja jest niepoprawna, por. np. \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\,\dd x}\)

Podstawienie \(\displaystyle{ t=2\sin x}\) sprowadza tę całkę do następującej:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\ln^2 t}{ \sqrt{4-t^2} } \,\dd t=\frac 1 2 \int_{0}^{1} \frac{\ln^2 t}{ \sqrt{1-\left( \frac t 2\right)^2 } }\,\dd t}\)
Teraz można skorzystać z uogólnionego wzoru dwumianowego i scałkować dwukrotnie przez części:
\(\displaystyle{ (1+x)^a= \sum_{n=0}^{+\infty}{a \choose n}x
^n , \ |x|<1\\ \frac{1}{ \sqrt{1-\left( \frac t 2\right)^2 } }= \sum_{n=0}^{+\infty}{-\frac 1 2 \choose n}\left(- \frac {t^2} 4\right)^n=\\= \sum_{n=0}^{+\infty}{-\frac 1 2 \choose n}\left( -\frac 1 4\right)^n t^{2n}\\ \frac 1 2 \int_{0}^{1} \frac{\ln^2 t}{ \sqrt{1-\left( \frac t 2\right)^2 } }\,\dd t=\\=\frac 1 2 \int_{0}^{1}\ln^2 t\left[\sum_{n=0}^{+\infty}{-\frac 1 2 \choose n}\left( -\frac 1 4\right)^n t^{2n} \right] \,\dd t=\\=\frac 1 2 \sum_{n=0}^{+\infty}{-\frac 1 2 \choose n}\left( -\frac 1 4 \right)^n \int_{0}^{1}t^{2n}\ln^2 t\,\dd t}\)
zaś
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}t^{2n}\ln^2 t\,\dd t=\frac{t^{2n+1}}{2n+1} \cdot \ln^2 t\bigg|^{t=1}_{t\rightarrow 0^+}- \frac{2}{2n+1}\int_{0}^{1}t^{2n}\ln t\,\dd t=\\=- \frac{2}{2n+1}\int_{0}^{1}t^{2n}\ln t\,\dd t=\\=-\frac{2}{(2n+1)^2}t^{2n+1}\ln t\bigg|^{t=1}_{t\rightarrow 0^+}+\frac{2}{(2n+1)^2} \int_{0}^{1}t^{2n}\,\dd t=\\=\frac{2}{(2n+1)^3}}\)
a zatem
\(\displaystyle{ \frac 1 2 \int_{0}^{1} \frac{\ln^2 t}{ \sqrt{1-\left( \frac t 2\right)^2 } }\,\dd t=\sum_{n=0}^{+\infty}{-\frac 1 2 \choose n}\left( -\frac 1 4 \right)^n \frac{1}{(2n+1)^3}}\)

Pewnie teraz trzeba pomyśleć, jak rozpisać/uprościć tę sumę, żeby dojść do jakiejś kombinacji funkcji specjalnych, bo po pobieżnym spojrzeniu w wolframie naprawdę wątpię, żeby coś ładniejszego tu wyszło.

Możemy zapisać, że
\(\displaystyle{ (-2)^n \prod_{k=1}^{n} \left( -\frac 1 2-k+1\right)= \prod_{k=1}^{n}(2k-1)=(2n-1)!!}\),
toteż
\(\displaystyle{ {-\frac 1 2 \choose n}\left( -\frac 1 4 \right)^n \frac{1}{(2n+1)^3}= \frac{(2n-1)!!}{n!8^n} \cdot \frac{1}{(2n+1)^3}=\\=\frac{(2n)!}{16^n (n!)^2} \cdot \frac{1}{(2n+1)^3}=\\= \frac{(2n)!}{(n!)^24^n(2n+1)} \cdot \frac{1}{4^n(2n+1)^3}}\)
i tu majaczy jakieś rozwinięcie arcusa sinusa.
\(\displaystyle{ \arcsin y= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^24^n(2n+1)} y^{2n+1}, \ |y|<1\\ 2\arcsin\left( \frac y 2\right)= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^216^n(2n+1)} y^{2n+1}\\ \int_{0}^{y} \frac{\arcsin\left( \frac t 2\right) }{\frac t 2}\,\dd t=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^216^n(2n+1)^2} y^{2n+1}}\)
dla odpowiednich \(\displaystyle{ y}\), w szczególności
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\arcsin\left( \frac t 2\right) }{\frac t 2}\,\dd t=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^216^n(2n+1)^2}}\)

Dobra, dam sobie z tym spokój, jestem za głupi na matematykę, żałuję, że się urodziłem, ale martwię się, że moje samobójstwo narobiłoby problemów mojej rodzinie.

[stuart clark]

Thanks SlotaWoh.

Thanks Premislav for Nice Explination.

[dec1]

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/342777/interesting-log-sine-integrals-int-0-pi-3-log2-left2-sin-fracx2-r

[stuart clark]

Thanks Dec1