Całka oznaczona

[maximum2000]

\(\displaystyle{ \int_{-2}^{0} \frac{x}{\sqrt{e^x+4+4x+x^2}}\,dx}\)

[dec1]

Zauważmy, że \(\displaystyle{ 4+4x+x^2=(x+2)^2}\). Po podstawieniu \(\displaystyle{ u=(x+2)\sqrt{e^{-x}}}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \int_{-2}^{0} \frac{x}{\sqrt{e^x+4+4x+x^2}}\dd x=-2\int_0^2\frac{\dd u}{\sqrt{u^2+1}}=-6\log\varphi}\)

[Premislav]

Też używałem tutaj tego podstawienia, ale nie wychodziło mi coś takiego. Może jakiś szkic obliczeń.

[dec1]

No \(\displaystyle{ \frac{x}{\sqrt{e^x+(x+2)^2}}=\frac{x \sqrt{e^{-x}}}{\sqrt{\left((x+2)\sqrt{e^{-x}}\right)^2+1}}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\dd u}{\dd x}=-\frac{x}{2}\sqrt{e^{-x}}}\), ładnie wychodzi.

Edit: a dobra, literówka.

[Premislav]

OK, dzięki wielkie, no to ja jestem debilem najwyraźniej.
Tam oczywiście powinien być pierwiastek w mianowniku w funkcji podcałkowej u Ciebie po podstawieniu (1. post), ale to szczegół.

[Mariusz M]

Widziałem tę całkę na innym forum gdzie została ona wrzucona miesiąc przed wrzuceniem jej tutaj

Można też w inny sposób

1. Dodać pewne zero

\(\displaystyle{ \int{\frac{x}{ \sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 } } \mbox{d}x }=
\int{\left( 1+\left(\frac{x}{ \sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 } }-1 \right) \right) \mbox{d}x }\\
\int{ \mbox{d}x }+\int{\frac{x-\sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 } }{\sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 } }} \mbox{d}x }\\}\)

2. Pomnożyć przez pewną jedynkę

\(\displaystyle{ \int{ \mbox{d}x }+\int{ \frac{1}{x+2+ \sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 } } \cdot \frac{\left( x- \sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 } \right)\left( x+2+ \sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 }\right) }{ \sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 } } \mbox{d}x}}\)

Gdy wymnożymy licznik w tej drugiej całce widać będzie co podstawić