Całka powierzchniowa ograniczona czterema prostymi

[kubasas]

Cześć, stanąłem przed zadaniem inżynierskim, w którym muszę policzyć całkę po polu powierzchni w płaszczyźnie XY układu współrzędnych. Wszystko jest okej jeśli krawędzie płaszczyzny są zgodne z osiami układu, lecz chodzi mi o przypadek gdy pole jest ograniczone 4 prostymi funkcjami \(\displaystyle{ f(x)}\). Przeszukałem trochę internetu bez większych efektów. Byłbym bardzo wdzięczny za wszelkie rady lub wskazanie drogi jaką mam szukać rozwiązania. Pozdrawiam

Kod: Zaznacz cały

https://i.imgur.com/D8vJ93K.png

\(\displaystyle{ \iint_{S}}\)

[SlotaWoj]

Wprowadźmy oznaczenie dla współrzędnych \(\displaystyle{ x}\)–wych punktów przecięcia: \(\displaystyle{ x_P(g,i)}\) jest takie, że \(\displaystyle{ g\left(x_P(g,i)\right)=i\left(x_P(g,i)\right)}\) , itp.

Wówczas czworokąt całkowania jest dzielony na trzy obszary przez proste:

1. \(\displaystyle{ x=x_P(g,i)\ \wedge\ x=x_P(h,i)}\) – trójkąt,
2. \(\displaystyle{ x=x_P(h,i)\ \wedge\ x=x_P(f,g)}\) – czworokąt (być może równoległobok, gdy wykresy \(\displaystyle{ g}\) i \(\displaystyle{ h}\) są równoległe),
3. \(\displaystyle{ x=x_P(f,g)\ \wedge\ x=x_P(f,h)}\) – trójkąt.

W każdym z tych obszarów łatwo zamienić całkę powierzchniową na całkę (podwójną) iterowaną.