Pole figury ograniczonej krzywymi

[onp21]

prosiłbym o pomoc z tym zadaniem, obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi

\(\displaystyle{ y = x^2 - 4x - 3}\)
\(\displaystyle{ y = -x^2 + 6x + 9}\)

[Dilectus]

Zrób rysunek. Znajdź punkty wspólne obydwu parabol, przyjrzyj się rysunkowi, scałkuj obie funkcje w odpowiednich granicach i zastanów się, co trzeba zrobić (które pola trzeba dodać, bądź odjąć), żeby uzyskać pole powierzchni obszaru ograniczonego tymi krzywymi.

[cegielnik]

Bardzo prostym sposobem na obliczenie tego pola jest zastosowanie całki podwójnej:
\(\displaystyle{ P= \int\int_{D} 1dxdy}\)

Funkcją podcałkową jest z=1

Aby wyznaczyć obszar całkowania wyznaczmy punkty przecięcia parabol rozwiązując równanie:
\(\displaystyle{ x^2 - 4x - 3= -x^2 + 6x + 9}\)
\(\displaystyle{ x_1=-1}\)
\(\displaystyle{ x_2=6}\)
Pole wyraża się zatem za pomocą poniższej całki podwójnej:
\(\displaystyle{ P= \int_{-1}^{6} dx \int_{-x^2 + 6x + 9}^{ x^2 - 4x - 3} 1dy}\)

x zmienia się więc w stałych granicach, natomiast y zmienia się od jednej funkcji do drugiej

[PoweredDragon]

Raczej tak:
\(\displaystyle{ P = \int_{-1}^{6} \int_{-x^2 + 6x + 9}^{ x^2 - 4x - 3} 1\mbox{d}y \mbox{d}x}\)

[cegielnik]

Szczerze mówiąc spotkałem się już z wieloma wariacjami na temat zapisu całek wielokrotnych
co książka to inny zapis.
Według mnie najbardziej jednoznaczny zapis może wyglądać tak:
\(\displaystyle{ P = \int_{-1}^{6} (\int_{-x^2 + 6x + 9}^{ x^2 - 4x - 3} 1\mbox{d}y) \mbox{d}x}\)

Nawiasy naprowadzają w jakiej kolejności oblicza się taką całkę

[a4karo]

I w ten sposób obu zwolennikom całki podwójnej wyjdzie ujemne pole.

[PoweredDragon]

A co za różnica. To tylko kwestia zamiany granic całkowania, czyż nie?
Równie dobrze możemy najpierw policzyć całkę, a potem dać \(\displaystyle{ P = \left| I\right|}\) albo od razu wziąć w wartość bezwzględną. W/E

[a4karo]

Nie. Jak się podpowiada rozwiązanie niezbyt proste zresztą, bo pole między krzywymi robi się wcześniej niż całkę podwójna) to trzeba to zrobić prawidłowo.

[Janusz Tracz]

Tradycyjna metoda to \(\displaystyle{ P= \int_{x_1}^{x_2}f_g-f_d \mbox{d}x}\). Wzór można zwinąć do całki podwójnej i wyjdzie \(\displaystyle{ P= \int_{x_1}^{x_2}f_g-f_d \mbox{d}x = \int_{x_1}^{x_2} \int_{f_d}^{f_g} 1\mbox{d}y \mbox{d}x}\). Ale jest tylko wariacja na temat i nie wnosi za dużo do rozwiązania w tym konkretnym przypadku bo pytający prawdopodobnie zaczyna dopiero całki pojedynczy więc po co straszycie. Do policzenia jest


\(\displaystyle{ P=\int_{-1}^{6} -x^2+6x+9-(x^2-4x-3) \mbox{d}x=...}\)

Całka jest banalna to jest zwykłe całkowanie wielomianu więc do działa.