Hej Mam problem z całką.
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}}\)
Obliczyć całkę
-
- Użytkownik
- Posty: 487
- Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 226 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 487
- Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 226 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Obliczyć całkę
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}= \int_{}^{} \frac{x^2+1-x^2}{(x^{2}+1)^{2}} \,\dd x=\\= \int_{}^{} \frac{\,\dd x}{x^2+1}+ \int_{}^{} x \cdot \left( \frac{1}{2x^2+2} \right)' \,\dd x=\ldots}\)
i dalej pewnie sobie poradzisz.
i dalej pewnie sobie poradzisz.
- Richard del Ferro
- Użytkownik
- Posty: 190
- Rejestracja: 13 mar 2016, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Obliczyć całkę
\(\displaystyle{ x=tg(u)}\)
\(\displaystyle{ dx= \frac{1}{(cosu)^2} du}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{du}{(cosu)^2} \cdot \frac{1}{((tgu)^2+1)^2}}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{du}{(cosu)^2} \cdot \frac{1}{ \frac{1}{(cosu)^4} }}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} (cosu)^2du}\)
\(\displaystyle{ cos2x=2(cosx)^2+1}\)
\(\displaystyle{ (cosx)^2= \frac{cos2x+1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{}^{} (cos2u+1 )du}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{}^{} 1 du+ \frac{1}{2} \int_{}^{} (cos2u)du}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} u + \frac{1}{4} sin 2u + C}\)
\(\displaystyle{ u=arctgx}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{(x^2+1)^2} = \frac{arctgx}{2} + \frac{1}{4} sin(2arctgx)+C}\)
Po drodze korzystałem z tego że pochodna tangensa
\(\displaystyle{ (tgx)'= \frac{1}{(cosx)^2} =(tgx)^2+1}\)
Banalne do udowodnienia, jedynka trygonometryczna, rozpisanie tangensa z definicji i podzielenie przez cosinus.
Dodatkowo nie rozpisywałem jakoś całki \(\displaystyle{ cos2x}\)
\(\displaystyle{ dx= \frac{1}{(cosu)^2} du}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{du}{(cosu)^2} \cdot \frac{1}{((tgu)^2+1)^2}}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{du}{(cosu)^2} \cdot \frac{1}{ \frac{1}{(cosu)^4} }}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} (cosu)^2du}\)
\(\displaystyle{ cos2x=2(cosx)^2+1}\)
\(\displaystyle{ (cosx)^2= \frac{cos2x+1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{}^{} (cos2u+1 )du}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{}^{} 1 du+ \frac{1}{2} \int_{}^{} (cos2u)du}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} u + \frac{1}{4} sin 2u + C}\)
\(\displaystyle{ u=arctgx}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{(x^2+1)^2} = \frac{arctgx}{2} + \frac{1}{4} sin(2arctgx)+C}\)
Po drodze korzystałem z tego że pochodna tangensa
\(\displaystyle{ (tgx)'= \frac{1}{(cosx)^2} =(tgx)^2+1}\)
Banalne do udowodnienia, jedynka trygonometryczna, rozpisanie tangensa z definicji i podzielenie przez cosinus.
Dodatkowo nie rozpisywałem jakoś całki \(\displaystyle{ cos2x}\)
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Obliczyć całkę
O widzę że ktoś oglądał amerykańskie filmiki
Tyle że całki z funkcji trygonometrycznych są wprowadzane później
Liczenie przez części w sposób jaki pokazał Premislav, to dobry pomysł
Jak ktoś lubi współczynniki nieoznaczone to można też wydzielić część wymierną całki
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{a_{1}x+a_{0}}{x^2+1}+\int{\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2+1} \mbox{d}x }}\)
Po zróżniczkowaniu tej równości i porównaniu współczynników w licznikach
dostaniemy układ równań liniowych gdzie \(\displaystyle{ A^{-1}}\)
to macierz odwrotna do macierzy głównej tego układu równań liniowych
\(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 0&-1&0&1 \\ 1&0&-1&0\\2&0&0&0\\0&1&0&1 \end{bmatrix}}\)
Tyle że całki z funkcji trygonometrycznych są wprowadzane później
Liczenie przez części w sposób jaki pokazał Premislav, to dobry pomysł
Jak ktoś lubi współczynniki nieoznaczone to można też wydzielić część wymierną całki
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{a_{1}x+a_{0}}{x^2+1}+\int{\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2+1} \mbox{d}x }}\)
Po zróżniczkowaniu tej równości i porównaniu współczynników w licznikach
dostaniemy układ równań liniowych gdzie \(\displaystyle{ A^{-1}}\)
to macierz odwrotna do macierzy głównej tego układu równań liniowych
\(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 0&-1&0&1 \\ 1&0&-1&0\\2&0&0&0\\0&1&0&1 \end{bmatrix}}\)