Matematyka.pl

Hej Mam problem z całką.

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}}\)

Całkujemy przez części.

W jaki sposob? Bo tego nie widzę. Co calkowac i co różniczkowac?

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}= \int_{}^{} \frac{x^2+1-x^2}{(x^{2}+1)^{2}} \,\dd x=\\= \int_{}^{} \frac{\,\dd x}{x^2+1}+ \int_{}^{} x \cdot \left( \frac{1}{2x^2+2} \right)' \,\dd x=\ldots}\)
i dalej pewnie sobie poradzisz.

\(\displaystyle{ x=tg(u)}\)

\(\displaystyle{ dx= \frac{1}{(cosu)^2} du}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{du}{(cosu)^2} \cdot \frac{1}{((tgu)^2+1)^2}}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{du}{(cosu)^2} \cdot \frac{1}{ \frac{1}{(cosu)^4} }}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} (cosu)^2du}\)

\(\displaystyle{ cos2x=2(cosx)^2+1}\)

\(\displaystyle{ (cosx)^2= \frac{cos2x+1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{}^{} (cos2u+1 )du}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{}^{} 1 du+ \frac{1}{2} \int_{}^{} (cos2u)du}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} u + \frac{1}{4} sin 2u + C}\)

\(\displaystyle{ u=arctgx}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{(x^2+1)^2} = \frac{arctgx}{2} + \frac{1}{4} sin(2arctgx)+C}\)

Po drodze korzystałem z tego że pochodna tangensa
\(\displaystyle{ (tgx)'= \frac{1}{(cosx)^2} =(tgx)^2+1}\)
Banalne do udowodnienia, jedynka trygonometryczna, rozpisanie tangensa z definicji i podzielenie przez cosinus.

Dodatkowo nie rozpisywałem jakoś całki \(\displaystyle{ cos2x}\)

O widzę że ktoś oglądał amerykańskie filmiki

Tyle że całki z funkcji trygonometrycznych są wprowadzane później

Liczenie przez części w sposób jaki pokazał Premislav, to dobry pomysł


Jak ktoś lubi współczynniki nieoznaczone to można też wydzielić część wymierną całki

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{a_{1}x+a_{0}}{x^2+1}+\int{\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2+1} \mbox{d}x }}\)


Po zróżniczkowaniu tej równości i porównaniu współczynników w licznikach
dostaniemy układ równań liniowych gdzie \(\displaystyle{ A^{-1}}\)
to macierz odwrotna do macierzy głównej tego układu równań liniowych

\(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 0&-1&0&1 \\ 1&0&-1&0\\2&0&0&0\\0&1&0&1 \end{bmatrix}}\)