Pole, całkowanie

[Androo]

Otóż mam obliczyć pole ograniczone równaniami \(\displaystyle{ x^2+y^2=r^2}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{3} r^2}\)

I tu rodzi się pytanie, r jest stałą więc druga funkcja to będzie prosta? Czy tutaj jakaś niespodzianka jest? Druga kwestia to granice całkowania od 0 do x w których te dwie funkcje się przecinają które wychodzą tragiczne \(\displaystyle{ x= \sqrt{r^2-\frac{1}{9}r^4}}\)


Głównie całka będzie wyglądała \(\displaystyle{ \int_{-\sqrt{r^2-\frac{1}{9}r^4}}^{\sqrt{r^2-\frac{1}{9}r^4}}(\sqrt{r^2-x^2}-\frac{1}{3}r^2 ) \mbox{d}x}\)

Nie chodzi mi tutaj o rozwiązanie tylko o merytorykę bo dopiero zaczynam z obliczeniem pola i takie dziwne przykłady dostałem.

Pozdrawiam.

[mortan517]

W przypadku, który podałeś \(\displaystyle{ r}\) jest stałą, więc jest w porządku. Narysuj rysunek i zobacz, że to pole, to tak naprawdę dwie identyczne części, więc granice całkowania się uproszczą. To pole możesz policzyć bardzo łatwo jako wycinek koła bez trójkąta (no chyba że musisz użyć całek). Jeszcze jedną rzeczą na którą warto zwrócić uwagę są wartości \(\displaystyle{ r}\), dla których zadanie ma sens.

[Androo]

Tak sytuacja jest symetryczna czyli pierwsza granica od 0 do x i pomnożyć wynik całki razy 2? Mam przyjąć że \(\displaystyle{ r>0 ?}\)

[mortan517]

Tak, bo zauważ, że pole przy granicach całkowania od zera do tego wyliczonego przez Ciebie \(\displaystyle{ x}\) (mógłbyś to inaczej oznaczyć, żeby nie było konfliktu, np. \(\displaystyle{ x_0}\)), to połowa pola, które zapisałeś w pierwszym poście.

Przyjęcie dodatniości promienia to pierwsza rzecz. Jednak jest coś jeszcze, możesz to wywnioskować z punktu przecięcia wykresów. Podstaw kilka wartości \(\displaystyle{ r}\) i zobacz co się stanie.

[Androo]

No w sumie zapomniałem że wartość pod pierwiastkiem musi być nieujemna a w tym wypadku dodatnia. Czyli wystarczy rozwiązać nierówność.

[mortan517]

Zgadza się (w sumie jak wartość jest równa zeru to pole też). Możesz zobaczyć jeszcze jak wygląda interpretacja graficzna tego zadania dla \(\displaystyle{ r}\) z poza dziedziny.

[Androo]

Ale to jakoś na płaszczyźnie zespolonej będzie reprezentowane?

[mortan517]

Generalnie tak by było, ale nie staraj się przez chwilę policzyć punktu przecięcia, a po prostu narysuj sobie jak to wygląda dla kilku różnych wartości \(\displaystyle{ r}\).