Całka podwójna, niewłaściwa. Zbieżność

[tangerine11]

Zadanie brzmi:
Zbadać, czy całka jest zbieżna:

\(\displaystyle{ \int_{E}^{} \int \ln \left( 1- \sqrt{1-2x^{2}-y^{2}} \right) \mbox{d}x \mbox{d}y}\)

\(\displaystyle{ E={ \left( x,y \right) \in R^{2}: 0 \le 2x^{2}+y^{2} \le 1}}\)

Wykorzystuję podstawienie eliptyczne
\(\displaystyle{ x= \frac{1}{ \sqrt{2}}r\cos \alpha \\
y= r\sin \alpha}\)


Mam do policzenia całkę:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } \int_{0}^{1- \frac{1}{n} } \frac{1}{ \sqrt{2} } r \ln \left( 1- \sqrt{1-r^{2}} \right) \mbox{d}r \mbox{d} \alpha}\)

1) Czy granice całkowania są dobre?
2) Czy trzeba tą całkę liczyć, czy wystarczy szacowanie logarytmu z góry przez \(\displaystyle{ \ln 1=0}\)?

[Premislav]

1) Sam pomysł na podstawienie jest dobry, ale przekształcenia już nie do końca (dziwny zakres kąta, poza tym jakobian wcale nie wynosi tu \(\displaystyle{ r}\)), ja otrzymałem:
\(\displaystyle{ \frac 1 {\sqrt{2}}\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r\ln\left(1-\sqrt{1-r^2}\right)\,\dd r \,\dd \alpha}\)
albo nie napisałaś wszystkich ograniczeń tego obszaru, jakie wystąpiły w zadaniu, albo z tym kątem się po prostu pomyliłaś. Poza tym osobliwość nie tkwi tam, gdzie Ci się zdaje, raczej istotne jest badanie
\(\displaystyle{ \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac 1 {\sqrt{2}}\int_{0}^{2\pi} \int_{\epsilon}^{1} r\ln\left(1-\sqrt{1-r^2}\right)\,\dd r \,\dd \alpha}\)

2) Oczywiście że nie wystarczy! W taki sposób mogłabyś „pokazać", że dowolna całka z funkcji ujemnej (i całkowalnej oczywiście) jest zbieżna, a to raczej ewidentna bzdura.

Co do rozwiązania, całki nie musisz liczyć (choć jak ktoś chce, to może spróbować przez części):
\(\displaystyle{ 1-\sqrt{1-r^2}= \frac{(1-\sqrt{1-r^2})(1+\sqrt{1-r^2})}{1+\sqrt{1-r^2}}= \frac{r^2}{1+\sqrt{1-r^2}}}\)
Dalej warto sobie przypomnieć następujący fakt:
dla dowolnego \(\displaystyle{ a>0}\) mamy \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0^+}t^a \ln (t)=0}\) (można to udowodnić z de l'Hospitala, jak to zrobić inaczej - nie pamiętam).
Zatem funkcja podcałkowa w istocie jest ograniczona na tym obszarze.

[tangerine11]

U mnie również jakobian wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} } r}\).

Skąd zakres kąta? Narysowałam sobie obszar D (elipsę) i stwierdziłam że obszar jest symetryczny wzgl. osi OX i OY a funkcja jest parzysta wzgl, zmiennej \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), stąd mogę obliczyć całkę w I ćwiartce i pomnożyć przez \(\displaystyle{ 4}\). Dlatego chciałam całkować dla \(\displaystyle{ \alpha \in [0, \frac{ \pi }{2}]}\).

W związku z tym że miałam obliczyć całkę niewłaściwą pomyślałam, że jest problem tam gdzie brzeg elipsy, bo jak \(\displaystyle{ 2x^{2}+y^{2}=1}\) to będę liczyć logarytm z zera, więc chciałam ten obszar "zwęzić" przez \(\displaystyle{ 1- \frac{1}{n}}\)

Zgadzam się, punkt 2) nie był zbyt błyskotliwym pomysłem, powinnam się zastanowić zanim coś napiszę

Czemu bierzesz \(\displaystyle{ r \in [e,1]}\) ? Szczerze mówiąc nie bardzo wiem czemu tak

[Premislav]

Skąd zakres kąta? Narysowałam sobie obszar \(\displaystyle{ D}\) (elipsę) i stwierdziłam że obszar jest symetryczny wzgl. osi \(\displaystyle{ OX}\) i \(\displaystyle{ OY}\) a funkcja jest parzysta wzgl, zmiennej \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), stąd mogę obliczyć całkę w I ćwiartce i pomnożyć przez \(\displaystyle{ 4}\). Dlatego chciałam całkować dla \(\displaystyle{ \alpha \in [0, \frac{ \pi }{2}].}\)

Faktycznie, to jest OK, sorry.

Wydaje mi się, że coś a la „logarytm z zera" uzyskujesz w okolicach \(\displaystyle{ 0}\), a nie w okolicach \(\displaystyle{ 1}\):
jeśli \(\displaystyle{ r}\) jest bliskie \(\displaystyle{ 1}\) (i mniejsze niż \(\displaystyle{ 1}\) oczywiście), to \(\displaystyle{ \sqrt{1-r^2}\approx 0}\), a więc \(\displaystyle{ 1-\sqrt{1-r^2}\approx 1}\). Problem jest raczej gdy \(\displaystyle{ r \approx 0}\), jak pisałem.

[tangerine11]

Aaaa faktycznie źle sobie spojrzałam na to.

Rozumiem że w Twoim wzorze \(\displaystyle{ e}\) to jakaś zmienna równie dobrze może być \(\displaystyle{ a}\) czy tam coś innego?
Bo widząc \(\displaystyle{ e}\) od razu pomyślałam o liczbie Eulera stąd moje zdziwienie

[Premislav]

Epsilon, nie \(\displaystyle{ e}\). liczba Eulera nie ma tu sensu.

Całkę, jak wspominałem, można policzyć, ale nie widzę takiej potrzeby (korzystając z granicy, którą napisałem i z tych przekształceń można uzasadnić, że funkcja podcałkowa jest ograniczona na rozważanym obszarze). Acz można sobie policzyć dla rozrywki:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} r\ln\left( 1-\sqrt{1-r^2}\right)\,\dd r=\frac{r^2}{2}\ln\left( 1-\sqrt{1-r^2}\right) -\frac 1 2 \int_{}^{} \frac{r^3}{1-\sqrt{1-r^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\,\dd r}\)
i do tej drugiej całki stosujemy podstawienie \(\displaystyle{ r=\sin t}\).

EDIT: poprawiam literówkę w słowie „granicy".

[tangerine11]

Ok, wszystko jest dla mnie jasne, dziękuję