Witam
Proszę o pomoc w zrozumieniu zadania.
Obliczyć całkę:
\(\displaystyle{ \iint_{S}x dydz + z^{2}dzdx +x \sqrt{y}dxdy}\)
gdzie \(\displaystyle{ S}\) -dolna strona powierzchni walca \(\displaystyle{ x^{2}+ z^{2}=1}\) w pierwszym oktancie, ograniczona płaszczyzną \(\displaystyle{ y=2}\)
Pytanie dotyczy powierzchni \(\displaystyle{ S}\). Jak rozumieć w tym przypadku dolną stronę powierzchni walca i jak ma się to do skierowania, znaku lub sposobu obliczania tej całki ?
Całka powierzchniowa(dolna strona powierzchni walca)
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Całka powierzchniowa(dolna strona powierzchni walca)
Wprowadzamy współrzędne walcowe: \(\displaystyle{ \phi (r, t , y):}\)
\(\displaystyle{ x = r\cos(t), \ \ z = r\sin(t), \ \ 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2},\ \ y=0 \vee y=2.}\)
Zapisujemy element powierzchniowy \(\displaystyle{ dS = \sqrt{1 + z'^2_{|x} + z'^2_{|y}}dxdy}\) w tych współrzędnych.
Metoda klasyczna
Obliczamy kosinusy kierunkowe dla dolnej powierzchni walca (niektóre będą równe zeru).
Korzystamy ze wzoru:
\(\displaystyle{ \iint_{(S)} xdydz + z^2dzdx +x\sqrt{y}dxdy= \iint_{(D)}[x\cos(\alpha) + z^2\cos(\beta)+x\sqrt{y}\cos(\gamma)]dS.}\)
Metoda form różniczkowych
Zapisujemy funkcję podcałkową w postaci formy różniczkowej:
\(\displaystyle{ \omega = xdy \wedge dz + z^2dz \wedge dx + x\sqrt{y}dx \wedge dy.}\)
Dokonujemy cofnięcia ("pull back") tej formy względem parametryzacji \(\displaystyle{ \phi: D\rightarrow S.}\)
Korzystamy ze wzoru:
\(\displaystyle{ \iint_{(S)}\omega = \pm \iint_{(D)}\phi^{*}\omega.}\)
\(\displaystyle{ x = r\cos(t), \ \ z = r\sin(t), \ \ 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2},\ \ y=0 \vee y=2.}\)
Zapisujemy element powierzchniowy \(\displaystyle{ dS = \sqrt{1 + z'^2_{|x} + z'^2_{|y}}dxdy}\) w tych współrzędnych.
Metoda klasyczna
Obliczamy kosinusy kierunkowe dla dolnej powierzchni walca (niektóre będą równe zeru).
Korzystamy ze wzoru:
\(\displaystyle{ \iint_{(S)} xdydz + z^2dzdx +x\sqrt{y}dxdy= \iint_{(D)}[x\cos(\alpha) + z^2\cos(\beta)+x\sqrt{y}\cos(\gamma)]dS.}\)
Metoda form różniczkowych
Zapisujemy funkcję podcałkową w postaci formy różniczkowej:
\(\displaystyle{ \omega = xdy \wedge dz + z^2dz \wedge dx + x\sqrt{y}dx \wedge dy.}\)
Dokonujemy cofnięcia ("pull back") tej formy względem parametryzacji \(\displaystyle{ \phi: D\rightarrow S.}\)
Korzystamy ze wzoru:
\(\displaystyle{ \iint_{(S)}\omega = \pm \iint_{(D)}\phi^{*}\omega.}\)