Matematyka.pl

Witam,
wie ktoś może jak zabrać się do policzenia tej całki? Z góry dziękuje
\(\displaystyle{ \int_{( \frac{a+1}{2} )}^{0} \sqrt{x(2a+1-x} dx}\)

Całkowanie różniczki dwumiennej:
33970.htm

Ta całka jest pewnie banalna, ale będzie lepiej, gdy uzupełnisz nawiasy. Wygląda na to jednak, że Premislav wyciągnął zbyt duże działo.

A to działo nie działa? Jeśli jednak działa, to nie jest zbyt duże (oczywiście można uznać to za przerost formy nad treścią czy niepotrzebne kombinowanie, ale to kwestia gustu). Po co użerać się z wymyślaniem jakichś szczególnych przypadków.

Można też podstawieniem trygonometrycznym:
gdy mamy całkę typu
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{bx-ax^2}\,\dd x}\), gdzie \(\displaystyle{ a>0, \ b\neq 0}\), to możemy zapisać
\(\displaystyle{ bx-ax^2=a\left( \frac b a x-x^2\right)= \frac{b^2}{4a} -a\left( x-\frac{b}{2a}\right)^2}\)
i podstawić \(\displaystyle{ x-\frac{b}{2a}=\frac{b}{2a}\sin t}\), czy coś w tym stylu.

Wystarczy całkowanie przez części

Z podstawienia Eulera mielibyśmy

\(\displaystyle{ \int{\sqrt{bx-ax^2}\mbox{d}x}\\
\sqrt{bx-ax^2}=xt\\
bx-ax^2=x^2t^2\\
b-ax=xt^2\\
b=ax+xt^2\\
b=x\left( a+t^2\right)\\
x=\frac{b}{a+t^2} \\
xt=\frac{bt}{a+t^2}\\
\mbox{d}x=\frac{0 \cdot \left( a+t^2\right)-2bt }{\left( a+t^2\right)^2 } \mbox{d}t\\
\mbox{d}x=-\frac{2bt}{\left( a+t^2\right)^2} \mbox{d}t\\
-\int{\frac{bt}{a+t^2} \cdot \frac{2bt}{\left( a+t^2\right)^2} \mbox{d}t}\\
-\int{\frac{2b^2t^2}{\left( a+t^2\right)^3} \mbox{d}t}\\}\)