Granice całkowania i funkcja charakterystyczna
: 4 lis 2017, o 12:16
Czy poniższa całka jest dobrze przekształcona?
\(\displaystyle{ g(y)= \int\limits_{\mathbb{R}}\frac{1}{y} \cdot 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,1)}(x+\ln y) \cdot 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,1)}(x)~dx=1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(e^{-1},e)}(y) \int_{- \ln y}^{1- \ln y} \frac{1}{y}~dx}\)
Przejście między całkami zrobiłem, w myśl poniższych nierówności:
\(\displaystyle{ 0<x<1 \wedge 0<x+\ln y<1}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ - \ln y<x<1-\ln y}\)
oraz
\(\displaystyle{ -x<\ln y<1-x}\)
\(\displaystyle{ e^{-x}<y<e^{1-x}}\)
Uwzględniając zakres \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ e^{-1}<y<e}\)
Czy to jest dobrze?
\(\displaystyle{ g(y)= \int\limits_{\mathbb{R}}\frac{1}{y} \cdot 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,1)}(x+\ln y) \cdot 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,1)}(x)~dx=1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(e^{-1},e)}(y) \int_{- \ln y}^{1- \ln y} \frac{1}{y}~dx}\)
Przejście między całkami zrobiłem, w myśl poniższych nierówności:
\(\displaystyle{ 0<x<1 \wedge 0<x+\ln y<1}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ - \ln y<x<1-\ln y}\)
oraz
\(\displaystyle{ -x<\ln y<1-x}\)
\(\displaystyle{ e^{-x}<y<e^{1-x}}\)
Uwzględniając zakres \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ e^{-1}<y<e}\)
Czy to jest dobrze?