calka przez czesci

[degel123]

Witam ktos powie jak obliczyc przez czesci taka calke:

\(\displaystyle{ \int_ {}^{}e ^{x}\cos ^{2}xdx}\)

w zaden sposob nie chce mi sie to ukrocic

[a4karo]

No to pokaż jak próbowałeś

[Premislav]

Obliczenia można nieco uprościć, korzystając najpierw z tożsamości
\(\displaystyle{ \cos^2 x= \frac{1+\cos(2x)}{2}}\)
Wtedy możesz rozbić na sumę dwóch całek, z których jedna jest trywialna, a drugą liczy się prosto dwa razy przez części.

[Janusz Tracz]

Warto posłuchać Premislav, bo podana tożsamość ułatwia życie. Można z niej nie korzystać jak by się je nie znało.

\(\displaystyle{ \int_{}^{} e^x \cdot \cos^2x \ \mbox{d}x =\int\cos^2x\ \mbox{d} e^x=e^x\cos^2x+ \int e^x\sin 2x\ \mbox{d}x}\)

\(\displaystyle{ =e^x\cos^2x+ \Im\left\{ \int e^x \cdot e^{i2x}\ \mbox{d}x\right\}=e^x\cos^2x+\Im\left\{ \frac{e^{x(1+2i)}}{1+2i} \right\}+C}\)

\(\displaystyle{ =e^x\cos^2x+ \frac{e^x\sin 2x-2\cos 2x}{5}+C}\)

[a4karo]

I teraz zróżniczkuj I zobacz, czy wyszło to, co ma wyjść.

[degel123]

Dzieki panowie wyszlo Bardzo przydatna tozsamosc