Jak policzyć taką całkę?
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{x^2}{e^x+e^{-x}}}\)
Czy jest ona związania z jakąś funkcja specjalną?
Prosiłbym o naprowadzenie, nie rozwiązanie.
Całka oznaczona
- NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Re: Całka oznaczona
Hmm, a próbowałeś zaatakować to metodami analizy zespolonej? Trzeba by policzyć residua tej funkcji, ale w tym momencie nie wiem jak kłopotliwe to będzie.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Całka oznaczona
Najpierw zauważmy, że funkcja podcałkowa jest parzysta, zatem
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{x^2}{e^x+e^{-x}}\,\dd x=2 \int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{e^x+e^{-x}}\,\dd x}\)
Potem:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{e^x+e^{-x}}=x^2e^{-x}\left(1+e^{-2x} \right)^{-1}=\\=x^2e^{-x} \sum_{n=0}^{ \infty }(-1)^n e^{-2nx}= \sum_{n=0}^{ \infty }(-1)^n x^2 e^{-(2n+1)x}}\)
ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego. I można scałkować wyraz po wyrazie (dwa razy przez części, zabijając to \(\displaystyle{ x^2}\)).
-- 4 sie 2017, o 14:29 --
Aha, potrzebne jest jeszcze twierdzenie Weierstrassa o całkowaniu szeregów funkcyjnych, bo w ogólności całka z sumy nieskończenie wielu funkcji nie musi być równa sumie całek.
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{x^2}{e^x+e^{-x}}\,\dd x=2 \int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{e^x+e^{-x}}\,\dd x}\)
Potem:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{e^x+e^{-x}}=x^2e^{-x}\left(1+e^{-2x} \right)^{-1}=\\=x^2e^{-x} \sum_{n=0}^{ \infty }(-1)^n e^{-2nx}= \sum_{n=0}^{ \infty }(-1)^n x^2 e^{-(2n+1)x}}\)
ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego. I można scałkować wyraz po wyrazie (dwa razy przez części, zabijając to \(\displaystyle{ x^2}\)).
-- 4 sie 2017, o 14:29 --
Aha, potrzebne jest jeszcze twierdzenie Weierstrassa o całkowaniu szeregów funkcyjnych, bo w ogólności całka z sumy nieskończenie wielu funkcji nie musi być równa sumie całek.
-
- Użytkownik
- Posty: 1116
- Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Górnicza Dolina
- Podziękował: 74 razy
- Pomógł: 115 razy
Re: Całka oznaczona
Nie miałem jeszcze do czynienia z analizą zespoloną.NogaWeza pisze:Hmm, a próbowałeś zaatakować to metodami analizy zespolonej? Trzeba by policzyć residua tej funkcji, ale w tym momencie nie wiem jak kłopotliwe to będzie.
Mógłbyś jakoś przybliżyć zamianę na szereg?Premislav pisze:Najpierw zauważmy, że funkcja podcałkowa jest parzysta, zatem
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{x^2}{e^x+e^{-x}}\,\dd x=2 \int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{e^x+e^{-x}}\,\dd x}\)
Potem:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{e^x+e^{-x}}=x^2e^{-x}\left(1+e^{-2x} \right)^{-1}=\\=x^2e^{-x} \sum_{n=0}^{ \infty }(-1)^n e^{-2nx}= \sum_{n=0}^{ \infty }(-1)^n x^2 e^{-(2n+1)x}}\)
ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego. I można scałkować wyraz po wyrazie (dwa razy przez części, zabijając to \(\displaystyle{ x^2}\)).
Konkretnie to: \(\displaystyle{ (1+e^{-2x} )^{-1}= \sum_{n=0}^{ \infty }(-1)^n e^{-2nx}}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Całka oznaczona
Dla \(\displaystyle{ |t|<1}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{ \infty }t^n}\)
to teraz wstaw tam \(\displaystyle{ t=-e^{-2x}}\), gdzie \(\displaystyle{ x>0}\)
-- 4 sie 2017, o 14:52 --
Właściwie to coś mi się widzi, że może być problem z zastosowaniem twierdzenia Weierstrassa nawet w rozszerzonej wersji, więc zapewne należy to zrobić dla całki w granicach od \(\displaystyle{ \epsilon}\) do \(\displaystyle{ \infty}\), a potem pojechać z \(\displaystyle{ \epsilon}\) do zera i skorzystać z któregoś z twierdzeń Lebesgue'a (o zbieżności monotonicznej? O zbieżności zmajoryzowanej? Musiałbym dokładniej się przyjrzeć, może to za jakiś czas zrobię).
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{ \infty }t^n}\)
to teraz wstaw tam \(\displaystyle{ t=-e^{-2x}}\), gdzie \(\displaystyle{ x>0}\)
-- 4 sie 2017, o 14:52 --
Właściwie to coś mi się widzi, że może być problem z zastosowaniem twierdzenia Weierstrassa nawet w rozszerzonej wersji, więc zapewne należy to zrobić dla całki w granicach od \(\displaystyle{ \epsilon}\) do \(\displaystyle{ \infty}\), a potem pojechać z \(\displaystyle{ \epsilon}\) do zera i skorzystać z któregoś z twierdzeń Lebesgue'a (o zbieżności monotonicznej? O zbieżności zmajoryzowanej? Musiałbym dokładniej się przyjrzeć, może to za jakiś czas zrobię).
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Całka oznaczona
Oznaczmy całkę z wątku jako \(\displaystyle{ I}\). Następnie zdefiniujmy
\(\displaystyle{ J(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{e^x + e^{-x}} \; \dd x \;.}\)
Pozostaje policzyć \(\displaystyle{ J''(0) = I}\).Rozwiązanie: