Minimum funkcji danej przez całkę

[Majeskas]

Funkcja \(\displaystyle{ f\colon [a,b]\to(0,+\infty)}\) jest ciągła. Określamy nową funkcję \(\displaystyle{ \psi\colon(a,b)\to\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ \psi(t)=\int_a^b(x-t)^2f(x)\,dx}\). Wykazać, że funkcja \(\displaystyle{ \psi}\) osiąga na \(\displaystyle{ (a,b)}\) swoje minimum. W jakim punkcie? Scharakteryzować ten punkt w terminach wyjściowej funkcji \(\displaystyle{ f}\).

Zupełnie nie mam pomysłu. Nie wiem nawet, czy umieściłem to zadanie w odpowiednim dziale, bo nie widzę, o co w nim tak naprawdę chodzi. "Na co ono jest".

[dec1]

Parę wskazówek: musisz znaleźć takie \(\displaystyle{ c}\), że \(\displaystyle{ \phi'(c)=0}\) i dowieść, że \(\displaystyle{ \phi''(c)\geq 0}\). Po rozpisaniu pochodnej z tej całki wyznacz to \(\displaystyle{ c}\). Potem dowiedź, że \(\displaystyle{ c\in (a,b)}\). Przydadzą się do tego warunki o ciągłości i dodatniości \(\displaystyle{ f}\).

[Majeskas]

O czymś takim myślałem, ale nie wiem, jak to zrobić. (Przy czym powinno być raczej \(\displaystyle{ \phi''(c)>0}\), bo z zerowania się drugiej pochodnej nic jeszcze nie wynika).

Widzę to tak: Mam sobie funkcję \(\displaystyle{ F(x,t)}\), o której wiem, że \(\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial x}=(x-t)^2f(x)}\).
Wtedy \(\displaystyle{ \psi(t)=F(b,t)-F(a,t)}\). No i chcemy różniczkować \(\displaystyle{ \psi}\) i przyrównywać to do zera… I nie wiem, co dalej.

[dec1]

No to różniczkujemy i przyrównujemy:
\(\displaystyle{ \phi'(t)=\int_a^b\frac{\partial}{\partial t}\left( (x-t)^2 f(x)\right)\,\mathrm dx= \int_a^b 2f(x)(t-x)\,\mathrm dx =\\\phantom{\phi'(t)}= 2t\int_a^bf(x)\,\mathrm dx-2\int_a^bxf(x)\,\mathrm dx=0}\)

Stąd nasza poszukiwana wartość to \(\displaystyle{ t=\frac{\int_a^b xf(x)\,\mathrm dx}{\int_a^bf(x)\,\mathrm dx}}\).

Teraz trzeba dowieść, że \(\displaystyle{ a<t<b}\). Jak?

[Takahashi]

Jeśli nie jesteś tego świadom, podpowiem: jest to zadanie na wyznaczenie środka ciężkości pewnej figury.

[Majeskas]

OK. Kluczowym krokiem, którego się zląkłem, było przejście z różniczkowaniem pod znak całki. Z czego tu tak naprawdę korzystamy? Takie przejścia są zawsze delikatne.

Jeśli nie jesteś tego świadom, podpowiem: jest to zadanie na wyznaczenie środka ciężkości pewnej figury.

Skojarzenie nasunęło mi się, kiedy zobaczyłem taki stosunek całek. Ale wydaje mi się, że środek ciężkości figury płaskiej wymaga jakiegoś całkowania podwójnego po tej figurze, a tu są całki pojedyncze. Zapewne \(\displaystyle{ f}\) wyraża gęstość tej figury.
Przy czym nie wiem, jak to ma pomóc w rozwiązaniu zadania. Chyba że chodzi o sam fragment "scharakteryzować ten punkt".

[NogaWeza]

put me down

Nie wiem jak na podstawie tego wyrażenia stwierdzić, że opisuje on \(\displaystyle{ x}\)-ową współrzędną środka ciężkości tej figury (jeśli komuś się chce, to może to rozumowanie przybliżyć), ale jak się zna pojęcie momentu figury (momentu statycznego) i widzi się takie wyrażenie, to coś świta

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Moment_statyczny_pola

[a4karo]

To jest środek ciężkości pręta, którego gęstość wynosi \(\displaystyle{ f(x)}\)

[Majeskas]

To jest środek ciężkości pręta, którego gęstość wynosi \(\displaystyle{ f(x)}\)

No jasne.
Ale powróciłbym do meritum rozwiązania deca1. Co trzeba wiedzieć o funkcji \(\displaystyle{ g(x,t)}\), aby zachodziła równość
\(\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_a^bg(x,t)\,dx=\int_a^b\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}g(x,t)\,dx}\)?

[Premislav]

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Leibniza_%28o_r%C3%B3%C5%BCniczkowaniu_pod_znakiem_ca%C5%82ki%29

[Majeskas]

No tak… Dzięki!