Obliczyć całkę zespoloną

[legolas]

\(\displaystyle{ \oint_K \left( z-j\Re z\right) \dd z}\), gdzie \(\displaystyle{ K}\) jest dodatnio skierowanym względem wnętrza okręgiem \(\displaystyle{ \left| z-j\right| =1}\)

I nie wiem co z tym zrobić, tzn. czy rozbić tę całkę na \(\displaystyle{ \oint_K x\dd x + j\oint_K y\dd y}\)? Ale wtedy znowu, nie wiem co zrobić z równaniem okręgu.

Czy może jakaś parametryzacja, w stylu \(\displaystyle{ z=j+e^{jt}}\)?

[Premislav]

I nie wiem co z tym zrobić, tzn. czy rozbić tę całkę na \(\displaystyle{ \oint_K x\dd x + j\oint_K y\dd y}\)?

A to tak można? Moim zdaniem nie można, ale może czegoś nie wiem, w sumie nie bardzo się starałem na analizie zespolonej (u mnie to się nazywało funkcje analityczne 1).

Czy może jakaś parametryzacja, w stylu \(\displaystyle{ z=j+e^{jt}}\)?

Dokładnie taka parametryzacja się przyda.

[legolas]

A to tak można? Moim zdaniem nie można, ale może czegoś nie wiem, w sumie nie bardzo się starałem na analizie zespolonej (u mnie to się nazywało funkcje analityczne 1).

Nie wiem jak jest z całką po obszarze zamkniętym, ale z oznaczoną można na pewno, tj. \(\displaystyle{ \int_a^bz(t)\dd t= \int_a^bx(t)\dd t +j\cdot\int_a^by(t)\dd t}\)

Dokładnie taka parametryzacja się przyda.

No dobra, to

\(\displaystyle{ z'(t)=je^{jt}\dd t \\ t\in\left[ 0;2\pi\right]}\)
\(\displaystyle{ \oint_K \left( z-j\Re z\right) \dd z=\int_0^{2\pi}(j+e^{jt}-j\cdot0)\cdot j e^{jt}\dd t=\dots}\)

?
Coś za proste

[Premislav]

Nie wiem jak jest z całką po obszarze zamkniętym, ale z oznaczoną można na pewno, tj. \(\displaystyle{ \int_a^bz(t)\dd t= \int_a^bx(t)\dd t +j\cdot\int_a^by(t)\dd t}\)

Owszem, ale to, co napisałeś, tyczy się funkcji o argumentach rzeczywistych i wartościach zespolonych, a tu masz funkcję zmiennej zespolonej (nie tylko rzeczywiste wartości) o wartościach zespolonych, więc...

No dobra, to

\(\displaystyle{ z'(t)=je^{jt}\dd t \\ t\in\left[ 0;2\pi\right]
\oint_K \left( z-j\Re z\right) \dd z=\int_0^{2\pi}(j+e^{jt}-j\cdot0)\cdot j e^{jt}\dd t=\dots}\)

?

Nie do końca, przecież \(\displaystyle{ \Re\left( j+e^{jt}\right) =\Re\left( j+\cos t+j\sin t\right) =\cos t}\)

[legolas]

Nie do końca, przecież \(\displaystyle{ \Re\left( j+e^{jt}\right) =\Re\left( j+\cos t+j\sin t\right) =\cos t}\)

ups, wpadka. Dzięki za czujność