Obszar całkowania całki podwójnej

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Intech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 20 sty 2017, o 14:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Obszar całkowania całki podwójnej

Post autor: Intech » 19 cze 2017, o 20:35

Witam, proszę o sprawdzenie czy dobrze wyznaczam całkę do następującego zadania:
Graniastosłup ma w podstawie trójkąt T o wierchołkach A= (0,0,0), B=(0,2,0), C=(1,2,0). Został ścięty powierzchnią\(\displaystyle{ z=4-x^2-y^2}\). Policzyć objętość bryły.
Całkę wyznaczyłem taką:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \int_{2x}^{2}(4-x^2-y^2)dxdy}\)
Czy jest to poprawne?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7366
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 210 razy
Pomógł: 2910 razy

Re: Obszar całkowania całki podwójnej

Post autor: kerajs » 19 cze 2017, o 21:16

A wiesz że paraboloida nie leży nad podstawą graniastosłupa (wtedy granice byłyby prawidłowe), ale ją przecina?

Intech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 20 sty 2017, o 14:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Obszar całkowania całki podwójnej

Post autor: Intech » 19 cze 2017, o 22:47

Tak, narysowałem sobie bryłę i wiem, że paraboloida przecina graniastosłup. Właśnie dlatego wydawało mi się, że takie powinny być granice. Obszar całkowania wyznacza trójkąt będący podstawą, a paraboloida ogranicza bryłę z góry.-- 19 cze 2017, o 23:07 --Hmm, to jak powinny wyglądać granice całkowania? Teraz nawet nie wiem o co się zapytać, nie wiem czego nie rozumiem .

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7366
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 210 razy
Pomógł: 2910 razy

Re: Obszar całkowania całki podwójnej

Post autor: kerajs » 20 cze 2017, o 07:04

Tyle, że jak napisałem to już wcześniej, paraboloida przecina podstawę graniastosłupa (w \(\displaystyle{ z=0}\)).
Ukryta treść:    
a granice powinny wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{2 \sqrt{5} }{5} } \left( \int_{2x}^{ \sqrt{4-x^2}} (4-x^2-y^2)\dd y\right) \dd x}\)
lub
\(\displaystyle{ \int_{\arctg 2}^{ \frac{ \pi }{2} } \left( \int_{0}^{2}(4-r^2) r\dd r\right) \dd \alpha}\)

ODPOWIEDZ