Matematyka.pl

Mam taka całke :

\(\displaystyle{ \iint_{D}xy^{2}dxdy}\)

D:

\(\displaystyle{ 1 \leqslant x^2+y^2\leqslant4 , x \geqslant 0 , y \geqslant0}\)

Mam ja obliczyc najlepiej aby wszystko było pokazane krok po kroku
Dzieki wszystkim ludziomy którzy sie tym zainteresuja:)

Tak średnio jest to po kole, no ale nic.
1. rzutujemy na y:
y zmienia się od 1 do 2
2. rzutujemy na x:
x się zmienia od \(\displaystyle{ \sqrt{1-y^2}}\) do \(\displaystyle{ \sqrt{4-y^2}}\)

Zatem mamy całkę:
\(\displaystyle{ \int\limits_1^2 \int\limits_{\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}} xy^2 dx dy =
\int\limits_1^2 \left[ \frac{1}{2}x^2y^2 \right]_{\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}} dy = \\
= \int\limits_1^2 \frac{3}{2}y^2 dy = \frac{1}{2} \left[ y^3 \right]_1^2= 3,5}\)

Obszarem całkowania będzie część koła między promieniem 1 i 2, położona w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych (taka ćwiartka opony ).

Od razu przechodzimy na współrzędne biegunowe, podstawiając \(\displaystyle{ x=r\cos\varphi}\), \(\displaystyle{ y=r\sin\varphi}\), jakobian przekształcenia wynosi r. Korzystamy z twierdzenia o zamianie zmiennych w całce podwójnej:

\(\displaystyle{ \iint_{D}xy^2dxdy=\iint_{\Delta}r\cdot r\cos\varphi r^2\sin^2\varphi dr d\varphi=\iint_{\Delta}r^4 \sin^2 \varphi \cos\varphi drd\varphi=...}\)

Dalej określamy zbiór \(\displaystyle{ \Delta}\) - kąt liczony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od osi Ox zmieniać się będzie od 0 do \(\displaystyle{ \pi/2}\), promień zaś od 1 do 2, stąd szukany zbiór to prostokąt \(\displaystyle{ \left[0,\frac{\pi}{2}\right]\times \left[1,2\right]}\):

\(\displaystyle{ ...=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\varphi \cos\varphi d\varphi \int_{1}^{2}r^4dr}\)

Kolejność całkowania dowolna, aby obliczyć całkę trygonometryczną proponuję podstawić \(\displaystyle{ t=\sin\varphi}\), przez to \(\displaystyle{ dt=\cos\varphi d\varphi}\).

Scyth, to nie jest poprawnie - dlaczego zaniedbujesz przedział od 0 do 1? Granice całkowania zaś są poprawnie, ale tylko dla zmiennej w przedziale od 0 do 1, dalej otrzymujemy bzdurę.

Nie jest prawdą co napisał scyth , y zmienia się od 0 do 2 jest to przecież ćwiartka pierścienia, owszem można to robić w tych współrzędnych ale należałoby rozbić obszar całkowania, np w propozycji scytha trzeba byłoby rozbić przedział y na dwa odcinki [0,1] i [1,2] bo x zmienia się inaczej w pierwszym przedziale tzn. od \(\displaystyle{ \sqrt{1-y^2}}\) do \(\displaystyle{ \sqrt{4-y^2}}\) , a inaczej w drugim tzn. od 0 do \(\displaystyle{ \sqrt{4-y^2}}\). Mozna tez

Zamieniając współrzędne na biegunowe obliczyć

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}r^4\cos {\sin}^2 dr d\alpha}\)

i dla \(\displaystyle{ \alpha}\) całkując przez części

[ Dodano: 19 Września 2007, 12:59 ]
oczywiscie miało byc w ostatniej calce

Zamieniając współrzędne na biegunowe otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{1}^{2}r^4\cos {\sin}^2 dr d\alpha}\) i dla \(\displaystyle{ \alpha}\) całkując przez części

drugie podejście:
Całkujemy po dużej kuli, potem po małej i liczymy różnicę, czyli:
- duża kula:
y od 0 do 2
x od 0 do \(\displaystyle{ \sqrt{4-y^2}}\)
\(\displaystyle{ \int\limits_0^2 \int\limits_0^{\sqrt{4-y^2}} xy^2 dx dy = \int\limits_0^2 \left[ \frac{1}{2} x^2y^2 \right]_0^{\sqrt{4-y^2}} dy = \int\limits_0^2 (2y^2-\frac{y^4}{2}) dy = \\
= \left[ \frac{2}{3} y^3 - \frac{y^5}{10} \right]_0^2 = \frac{16}{3} - \frac{16}{5}=\frac{32}{15}}\)
- mała kula:
y od 0 do 1
x od 0 do \(\displaystyle{ \sqrt{1-y^2}}\)
\(\displaystyle{ \int\limits_0^1 \int\limits_0^{\sqrt{1-y^2}} xy^2 dx dy = \int\limits_0^1 \left[ \frac{1}{2} x^2y^2 \right]_0^{\sqrt{1-y^2}} dy = \int\limits_0^1 (\frac{y^2}{2}-\frac{y^4}{2}) dy = \\
= \left[ \frac{y^3}{6} - \frac{y^5}{10} \right]_0^1 = \frac{1}{6} - \frac{1}{10}=\frac{1}{15}}\)

Zatem \(\displaystyle{ \iint_{D}xy^{2}dxdy = \frac{31}{5}}\)

Teraz wydaje się być OK, przynajmniej co do wyniku końcowego .

Widać chyba już dobitnie, jakie korzyści związane są ze stosowania twierdzenia o zamianie zmiennych.