Całka - współrzędne biegunowe

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Intech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 20 sty 2017, o 14:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Całka - współrzędne biegunowe

Post autor: Intech » 7 cze 2017, o 00:32

Witam, proszę o pomoc z rozwiązaniem całki podwójnej:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} sin \sqrt{x^2+y^2} dxdy}\) gdzie obszar całkowania to
\(\displaystyle{ \pi \le \sqrt[]{x^2+y^2} \le 2 \pi}\)

Ja zrobiłem to tak:
Obszar całkowania:
\(\displaystyle{ \pi ^2 \le x^2+y^2 \le 4 \pi ^2}\)
to znaczy, że
\(\displaystyle{ \pi \le r \le 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ 0 \le f \le 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ \int_{ \pi }^{ 2\pi } \int_{0}^{ \pi } \sqrt{r^2}rdfdr= \int_{2 \pi }^{ \pi } 2 \pi r^2dr=2 \pi (\frac{8 \pi ^3}{3} - \frac{ \pi ^3}{3})}\)
Ta odpowiedź jest błędna. Jak to zrobić prawidłowo?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17544
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2957 razy

Re: Całka - współrzędne biegunowe

Post autor: a4karo » 7 cze 2017, o 04:39

Sinusa zgubiles. A całka po kącie do \(\displaystyle{ 2\pi}\) powinna być.

ODPOWIEDZ