Pokazać, że istnieje funkcja o własnościach.

[pawlo392]

Wykazać, że istnieje funkcja \(\displaystyle{ f \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R},[0,1])}\) taka, że \(\displaystyle{ f(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ |x| \le \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ f(x)=1}\) dla \(\displaystyle{ |x|>1}\).

[a4karo]

Wsk:
Funkcja \(\displaystyle{ h(x) =\begin{cases}e^{-1/x^2} & x>0\\0& x\leq 0\end{cases}}\)
Jest klasy \(\displaystyle{ C^{\infty}}\)

[pawlo392]

Wróciłem do tego zadania, ale nie mogę sobie z nim poradzić. Przypuszczam, że należy jakoś funkcję ze wskazówki zmodyfikować?

[a4karo]

Tak właśnie

[pawlo392]

Drugą część z zerem bym zostawił. Generalnie \(\displaystyle{ e^{ \frac{-1}{x^2}}}\) zachowuje się specyficznie. Dla bardzo małych iksów te wartości są równie małe. Ale to zero tak jak nie osiągniemy.

[Cytryn]

Niech \(\displaystyle{ f(x) = \exp (-1/x)}\) dla \(\displaystyle{ x > 0}\), \(\displaystyle{ 0}\) w pozostałych punktach. Rozważ

\(\displaystyle{ g(x) = \frac{f(x)}{f(x) + f(1-x)}}\)

[pawlo392]

Ta funkcja, jeśli dobrze widzę, nie spełnia założeń.

[Cytryn]

Wiem, że ich nie spełnia, jednak:
- jest gładka,
- jeśli \(\displaystyle{ x < 0}\), to \(\displaystyle{ g(x) = 0}\),
- jeśli \(\displaystyle{ x > 1}\), to \(\displaystyle{ g(x) = 1}\).

[pawlo392]

To funkcja nie przyjmuje wartości 1 dla wszystkich iksów większych od jedynki. Tylko przez chwilę ma taki skok.

[Cytryn]

Jeśli \(\displaystyle{ x > 1}\), to \(\displaystyle{ 1 - x < 0}\), zatem \(\displaystyle{ f(1-x) = 0}\), a co za tym idzie

\(\displaystyle{ g(x) = \frac{f(x)}{f(x)} = 1}\).

[pawlo392]

Masz racje, zgadza się. Wolfram mnie zmylił.