Caleczka nieoznaczona

Aragornik · Post autor: **Aragornik** » 18 wrz 2007, o 08:29

Mam taka calke \(\displaystyle{ \int \frac{x+5}{-x^2-4x-1}}\) i nie wiem czy moje rozwiazanie jest dobre wyszlo mi cos takiego \(\displaystyle{ - \frac{1}{2} ln(-x^2-4x-1) +3 ln (-x^2-4x-1)}\) moglby ktos sprawdzic? ewentualnie jesli bylby bardzo mily zapodac rozwiazane? jesli to jest zle.

scyth · Post autor: **scyth** » 18 wrz 2007, o 08:51

Chyba źle. W takich przypadkach najłatwiej rozłożyć całkowaną funkcję na sumę ułamków prostych. Po kilku obliczeniach dostajemy, że:
\(\displaystyle{ \frac{x+5}{-x^2-4x-1} = \frac{-7-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+2-x)}+\frac{-7+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-2+x)}}\)

Wygląda nie za ciekawie ale za to prosto się całkuje.

Aragornik · Post autor: **Aragornik** » 20 wrz 2007, o 08:41

A czy moglbys cale rozwiazanie pokazac? bede bardzo wdzieczny. Pozdrawiam

scyth · Post autor: **scyth** » 20 wrz 2007, o 09:18

Ok, drobna pomyłka:
\(\displaystyle{ \frac{x+5}{-x^2-4x-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{2(x+2+\sqrt{3})}-\frac{1+\sqrt{3}}{2(x+2-\sqrt{3})}}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{x+5}{-x^2-4x-1} dx = t \frac{\sqrt{3}-1}{2(x+2+\sqrt{3})} dx - t \frac{1+\sqrt{3}}{2(x+2-\sqrt{3})} dx = \\
\frac{\sqrt{3}-1}{2} t \frac{dx}{x+2+\sqrt{3}} - \frac{1+\sqrt{3}}{2} t \frac{dx}{x+2-\sqrt{3}} = \\
= \frac{\sqrt{3}-1}{2} \ln{(x+2+\sqrt{3})} - \frac{1+\sqrt{3}}{2} \ln{(x+2-\sqrt{3})} + C}\)