Matematyka.pl

Mam takie całki do policzenia:


\(\displaystyle{ \int\frac{sinxdx}{(3 - sin^2x + 2cosx)(1 + cosx)}dx}\)

\(\displaystyle{ \int\frac{e^x(1 + e^x)}{\sqrt{1 - e^{2x}}}dx}\)

\(\displaystyle{ \int(e^x + 2e^{-x} + 2)^{-1}dx}\)

1. np. via podstawienie \(\displaystyle{ t = \tan \frac{x}{2}}\)

2. i 3. podstawienie \(\displaystyle{ t = e^x}\)

W pierwszym lepiej jednak podstawić \(\displaystyle{ t=\cos x}\) (najpierw tylko zamienić \(\displaystyle{ \sin^2x}\) z jedynki na \(\displaystyle{ 1-\cos^2x}\)

No ja tak probowałem podstawiać ale pozniej mi coś nie wychodził, jak to poźniej rozwiązać???

A odnośnie którego przykładu jest to pytanie

Odnośnie 1 podstawiam za \(\displaystyle{ t=cosx}\) ale potem nie moge obliczyc do konca. I odnośnie drugiego tez.

W pierwszym po podstawieniu t=cos x, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \int \frac{-dt}{(3 - (1-t^2) + 2t)(1+t)} = t ft( \frac{-1}{1+t} + \frac{1}{2} \frac{2t + 2}{t^2 + 2t + 2} \right) dt = \ldots}\)
W obu przypadkach w liczniku znajduje się pochodna mianownika.

A w drugim po podstawieniu, całka sprowadza się do:
\(\displaystyle{ \int \frac{1+t}{\sqrt{1-t^2}}dt = \arcsin t - \sqrt{1-t^2} + C = \ldots}\)

I jeszcze mam taką, z tą już nie wiem co zrobic

\(\displaystyle{ \int{arctan{\sqrt{x}}}}\)

[ Dodano: 16 Września 2007, 14:05 ]
ze sie calka w tym 2 przypadku do arcsint sprowadza to rozumiem ale dalszej części nie bardzo;/

[ Dodano: 16 Września 2007, 14:18 ]
albo taka:
\(\displaystyle{ \int\frac{1 + x}{\sqrt{1 + x - x^2}}dx}\)

jaaaaaaaaaa, nie wiem jak takie całki rozwiązywać , czy jest jekiś sposób??

[ Dodano: 16 Września 2007, 14:43 ]
I jescze taka:

\(\displaystyle{ \int{x^x(1+lnx)}dx}\)

[ Dodano: 16 Września 2007, 15:08 ]
I jescze taka:

\(\displaystyle{ \int\frac{cosxdx}{(2 - cos^2x)(sinx - 1)}}\)


I znowu po podstawieniu wychodzi mi \(\displaystyle{ \int\frac{dt}{(1 + t^2)(t - 1)}}\)

I znowu nie wiem co z tym zrobić..., Jak sie taki iloczyn w mianowniku zamienia na sumę tych 2 wyrażeń pomnożonych przez siebie w mianowniku??? czyli jak dojść do tego, że coś tam przez \(\displaystyle{ 1+ t^2}\) plus cos tam przez \(\displaystyle{ t - 1}\) ???

crayan4 pisze:\(\displaystyle{ \int{arctan{\sqrt{x}}}}\)

Tutaj najpierw podstawienie \(\displaystyle{ x=t^2}\) a potem przez części.

crayan4 pisze:jaaaaaaaaaa, nie wiem jak takie całki rozwiązywać , czy jest jekiś sposób??

Co do rozwiązywania, to polecam wziąść jakąś książke do analizy [np. Analiza matmatyczna w zadaniach, albo Fichtenholza, tam masz wyjaśnione metody rozwiązywania], a co do tej całki

crayan4 pisze:I jescze taka:

\(\displaystyle{ \int{x^x(1+lnx)}dx}\)

\(\displaystyle{ x^{x} = e^{x\ln x}}\)
i podstawić \(\displaystyle{ t = x \ln x}\)

Również polecam Fichtenholza. Całki nieoznaczone są na początku tomu drugiego.

i jeszcze taka całka:

\(\displaystyle{ \int{ln\frac{1}{1 - x}}dx}\)

\(\displaystyle{ =\int\ln\left(1-x\right)^{-1}dx=-\int\ln (1-x)dx}\) no i wiadomo, podstawienie \(\displaystyle{ 1-x=t}\)