Strona 1 z 1
Dlugosc luku krzywej
: 15 wrz 2007, o 22:45
autor: moonia87
mam problem z obliczeniem dlugosci luku krzywej \(\displaystyle{ \ln ( \sin x ), \ \ x ft[ \frac{\pi}{3} ,\frac{2\pi}{3} \right]}\)
Poprawiłem zapis. luka52
Dlugosc luku krzywej
: 15 wrz 2007, o 23:01
autor: luka52
No, ale z czym jest problem
Mamy wzór:
\(\displaystyle{ L = t\limits_0^L \, \mbox{d}L = t\limits_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + y'^2} \, }\)
W naszym przypadku y=ln(sin x), więc liczysz pochodną, podstawiasz do wzoru i całkujesz.
Dlugosc luku krzywej
: 15 wrz 2007, o 23:38
autor: moonia87
problem w tym ze jak wszytsko obliczam to mi sie wynik zeruje a powninno wyjsc ln3
Dlugosc luku krzywej
: 15 wrz 2007, o 23:41
autor: luka52
W takim razie pokaż jak liczysz.
Dlugosc luku krzywej
: 16 wrz 2007, o 00:41
autor: moonia87
obliczam pochodna z ln(sinx) a pochodna to \(\displaystyle{ \frac{cosx}{sinx}}\) podstawiam do wzoru i wychodzi ze calka z tego to lnsinx
Dlugosc luku krzywej
: 16 wrz 2007, o 10:19
autor: luka52
Skoro \(\displaystyle{ \left( \ln \sin x \right)' = \frac{\cos x}{\sin x}}\), to jakim cudem pojawia Ci się logarytm
Podstawiasz to do wzoru i otrzymasz:
\(\displaystyle{ \int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2}{3} \pi} \sqrt{1 + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}} \, = t\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2}{3} \pi} \frac{\mbox{d}x}{|\sin x|} = \ldots}\)
Dlugosc luku krzywej
: 16 wrz 2007, o 11:23
autor: moonia87
no zgadza sie a ile jest \(\displaystyle{ \int}\) \(\displaystyle{ \frac{dx}{|sinx|}}\)
Dlugosc luku krzywej
: 16 wrz 2007, o 12:26
autor: luka52
W przedziale \(\displaystyle{ \left[ \frac{\pi}{3} , \frac{2}{3} \pi \right]}\) jest \(\displaystyle{ |\sin x | = \sin x}\), zatem:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sin x} = t \frac{dx}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = t \frac{ \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{2}} }{2 \tan \frac{x}{2}} = t \frac{d ft( \tan \frac{x}{2} \right) }{\tan \frac{x}{2}} = \ln ft| \tan \frac{x}{2} \right| + C}\)
Z oznaczoną już sobie chyba poradzisz?
Dlugosc luku krzywej
: 16 wrz 2007, o 13:10
autor: moonia87
dzieki tak z podstawieniem sobie poradze