Związek między objętością kuli i polem sfery

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Związek między objętością kuli i polem sfery

Post autor: yorgin »

Niech \(\displaystyle{ V_n(r)}\) oraz \(\displaystyle{ S_n(r)}\) oznaczają kolejno objętość kuli \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowej i pole sfery \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowej (\(\displaystyle{ r}\) to oczywiście promień danej figury).

Pokazać, że wtedy \(\displaystyle{ \frac{\dd}{\dd r}V_n(r)=S_{n-1}(r)}\) dla \(\displaystyle{ n>0}\).

Dla przykładu \(\displaystyle{ V_3(r)=\frac{4}{3}\pi r^3}\) i \(\displaystyle{ S_2(r)=4\pi r^2=\frac{\dd }{\dd r}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)}\).

Rozwiązanie problemu znam i zamieszczam poniżej (choć zalecam nie sprawdzać, jeżeli chcecie samodzielnie zmierzyć się z problemem i bez zbędnych spojlerów):
Ukryta treść:    
Zastanawiam się, czy da się to zrobić równie sprawnie, ale innymi metodami. Oczywiście zawsze można przepisać wzory z wikipedii i pokazać, że pochodna jednego wzoru daje drugi, ale nie o to chodzi...
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Związek między objętością kuli i polem sfery

Post autor: a4karo »

Bardzo jest interesujące przyjrzeć się temu twierdzeniu dla \(\displaystyle{ n=1}\)
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Związek między objętością kuli i polem sfery

Post autor: yorgin »

Dla \(\displaystyle{ n=1}\) naturalną miarą "zero-wymiarową" jest miara licząca. Sfera \(\displaystyle{ S_0(r)}\) ma więc miarę równą \(\displaystyle{ 2}\), co pokrywa się z pochodną długości odcinka (objętość \(\displaystyle{ S_1}\)). Przypadek faktycznie wart komentarza, jednak nadal przy odpowiednim rozumieniu symboliki teza jest zachowana.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Związek między objętością kuli i polem sfery

Post autor: 41421356 »

Tam na końcu chyba funkcja podcałkowa powinna być innej zmiennej. Zakładam, że różniczkując stronami korzystamy z tw. o całce jako funkcji górnej granicy całkowania.
ODPOWIEDZ