Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Niech \(\displaystyle{ V_n(r)}\) oraz \(\displaystyle{ S_n(r)}\) oznaczają kolejno objętość kuli \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowej i pole sfery \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowej (\(\displaystyle{ r}\) to oczywiście promień danej figury).
Pokazać, że wtedy \(\displaystyle{ \frac{\dd}{\dd r}V_n(r)=S_{n-1}(r)}\) dla \(\displaystyle{ n>0}\).
Dla przykładu \(\displaystyle{ V_3(r)=\frac{4}{3}\pi r^3}\) i \(\displaystyle{ S_2(r)=4\pi r^2=\frac{\dd }{\dd r}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)}\).
Rozwiązanie problemu znam i zamieszczam poniżej (choć zalecam nie sprawdzać, jeżeli chcecie samodzielnie zmierzyć się z problemem i bez zbędnych spojlerów):
Ukryta treść:
Korzystając z krzywoliniowej wersji twierdzenia Fubiniego otrzymujemy
i wystarczy teraz zróżniczkować względem \(\displaystyle{ r}\).
Zastanawiam się, czy da się to zrobić równie sprawnie, ale innymi metodami. Oczywiście zawsze można przepisać wzory z wikipedii i pokazać, że pochodna jednego wzoru daje drugi, ale nie o to chodzi...
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) naturalną miarą "zero-wymiarową" jest miara licząca. Sfera \(\displaystyle{ S_0(r)}\) ma więc miarę równą \(\displaystyle{ 2}\), co pokrywa się z pochodną długości odcinka (objętość \(\displaystyle{ S_1}\)). Przypadek faktycznie wart komentarza, jednak nadal przy odpowiednim rozumieniu symboliki teza jest zachowana.
Tam na końcu chyba funkcja podcałkowa powinna być innej zmiennej. Zakładam, że różniczkując stronami korzystamy z tw. o całce jako funkcji górnej granicy całkowania.