Matematyka.pl

Witam, mam problem z całka. Prosil bym o pomoc, (najlepiej gotowe rozwiazanie + ewentualne komentarze co, jak i dlaczego). Pozdrawiam
\(\displaystyle{ \int\frac{x+1}{x^3+9x}dx}\)

oraz zadanie drugie
2.) oblicz całke \(\displaystyle{ \iint_{D}{y dxdy}}\) po obszarze "D" ograniczony liniami \(\displaystyle{ {y=x^2, y=x}}\)

Całka podwujna, tak? luka52

Uprzedziłeś mnie luka52 ; )
Drizzt

1)
\(\displaystyle{ \int\frac{x+1}{x^3+9x}dx =\int\frac{x+1}{x(x^2+9)}dx =
\frac{1}{9}\int \frac{dx}{x}-\frac{1}{9}\int \frac{x-9}{x^2+9}dx=
\frac{1}{9}ln|x|-\frac{1}{9}\int \frac{xdx}{x^2+9}+\int \frac{dx}{x^2+9}\\
\\
t \frac{xdx}{x^2+9}\\
x^2+9=t\\
xdx=\frac{dt}{2}\\
\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t}=\frac{1}{2}ln|t|=\frac{1}{2}ln|x^2+9|\\
\\
t \frac{dx}{x^2+9}\\
x^2=9t^2\\
x=3t\\
dx=3dt\\
3\int \frac{dt}{9(t^2+1)}=
\frac{1}{3}\int \frac{dt}{t^2+1}=\frac{1}{3}arctg(t)=
\frac{1}{3}arctg(\frac{x}{3})\\
\\
t\frac{x+1}{x^3+9x}dx =
\frac{1}{9}ln|x| -\frac{1}{18}ln|x^2+9|+\frac{1}{3}arctg(\frac{x}{3})}\)

POZDRO

Moze wyjdzie na to z jestem glupia ale musze sie zapytac, bo siedze juz 15 minut i nie rozumiem 1 przekszatłcenia. Jak to zrobiles?
\(\displaystyle{ \int\frac{x+1}{x(x^2+9)}dx=\frac{1}{9}\int\frac{dx}{x}+\frac{1}{9}\int\frac{x+9}{x^2+9}dx}\)

Ehh. Pomylilem znak :/ Tam powinno byc - ta druga czesc. Zrobilem to tak:
\(\displaystyle{ \frac{x+1}{x(x^2+9)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+9}\\
x+1=Ax^2+9A+Bx^2+Cx\\
x+1=x^2(A+B)+Cx+9A\\
\begin{cases} A+B=0\\C=1\\9A=1\end{cases}\\
\begin{cases} B=-\frac{1}{9}\\C=1\\A=\frac{1}{9}\end{cases}\\
\frac{1}{9}\frac {1}{x}+\frac{-\frac{1}{9}x+1}{x^2+9}=
\frac{1}{9}\frac {1}{x}-\frac{1}{9}\frac{x-9}{x^2+9}=...}\)

POZDRO

Dzieki za pomoc, juz prawie rozumiem tylko jak bys jeszcze pwoiedzial skad zalozenie ze A+B=0 ; c=1 ; 9A=1. Z góry Wielkie Dzieki. Pozdro

Porownuje wspolczynniki - jak przy wielomianach
\(\displaystyle{ W(x)=x+1\\
T(x)=x^2(A+B)+Cx+9A\\
W(x)=T(x)\ \iff\ \begin{cases} A+B=0\\ C=1\\ 9A=1\end{cases}}\)

Mam nadzieje ze teraz rozumiesz POZDRO