całka oznaczona
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
całka oznaczona
No OK
Podstaw \(\displaystyle{ t = \tan \frac{x}{2}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ dx = \frac{2 \, dt}{1+t^2}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos x = \frac{1 - t^2}{1+t^2}}\)
Podstaw \(\displaystyle{ t = \tan \frac{x}{2}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ dx = \frac{2 \, dt}{1+t^2}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos x = \frac{1 - t^2}{1+t^2}}\)
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
całka oznaczona
Albo tak:
\(\displaystyle{ 1 - \cos x = 1 - 1 + 2\sin^{2} \frac{x}{2} = 2\sin^{2} \frac{x}{2}}\)
więc:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{1 - \cos x} = t \frac{d\frac{x}{2}}{\sin^{2}\frac{x}{2}} = -\cot \frac{x}{2} + C}\)
\(\displaystyle{ 1 - \cos x = 1 - 1 + 2\sin^{2} \frac{x}{2} = 2\sin^{2} \frac{x}{2}}\)
więc:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{1 - \cos x} = t \frac{d\frac{x}{2}}{\sin^{2}\frac{x}{2}} = -\cot \frac{x}{2} + C}\)
- Calasilyar
- Użytkownik
- Posty: 2656
- Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 410 razy
całka oznaczona
a można i tak:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{1-cosx}=\int \frac{1+cosx}{1-cos^{2}x}dx=\int \frac{dx}{sin^{2}x}+ t \frac{cosx}{sin^{2}x}dx=...}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{1-cosx}=\int \frac{1+cosx}{1-cos^{2}x}dx=\int \frac{dx}{sin^{2}x}+ t \frac{cosx}{sin^{2}x}dx=...}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
całka oznaczona
A można nawet przez podstawienie \(\displaystyle{ x = \arccos t}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ I = - t \frac{dt}{(1-t)\sqrt{1-t^2}} = \frac{-1-t}{\sqrt{1 - t^2}} + C = \frac{-1 - \cos x}{\sin x} + C = - \cot \frac{x}{2} + C}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ I = - t \frac{dt}{(1-t)\sqrt{1-t^2}} = \frac{-1-t}{\sqrt{1 - t^2}} + C = \frac{-1 - \cos x}{\sin x} + C = - \cot \frac{x}{2} + C}\)