Całka z pierwiastka funkcji kwadratowej
: 8 wrz 2007, o 19:39
Sprawa ma się tak:
\(\displaystyle{ \int \frac{3x+2}{\sqrt{x^2-5x+19}}dx}\)
i niby rozwiązałem ale coś jest nie tak i wiem to na pewno ??: bo podstawiam przykładowy argument pod x tak jak do wyniku sugerowanego tak jak do mojego rozwiązania, wartość powinna być taka sama a nie jest
sugerowane rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 3\sqrt{x^2-5x+19}+\frac{19}{2}ln(x-\frac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+19})+C}\)
przedstawię całość mojego rozwiązania bo tylko w tedy będziecie mogli znaleźć błąd:
1. zaczynam od pierwszego podstawienia Eulera \(\displaystyle{ \sqrt{x^2-5x+19}=t-x}\) z czego po przekształceniach mam: \(\displaystyle{ x=\frac{t^2-19}{2t-5}}\)
2. różniczkuję stronami, co daje \(\displaystyle{ dx=\frac{2t^2-10t+38}{(2t-5)^2}dt}\)
3. podstawiam \(\displaystyle{ \int \frac{\frac{3t^2-57}{2t-5}+\frac{4t-10}{2t-5}}{\frac{2t^2-5t}{2t-5}-\frac{t^2-19}{2t-5}}\frac{2t^2-10t+38}{(2t-5)^2}dt}\) z czego wynika \(\displaystyle{ \int \frac{6t^2+8t-134}{4t^2-10t+25}dt}\)
4. dzielę licznik przez mianownik \(\displaystyle{ 6t^2+8t-134=\frac{3}{2}(4t^2-20t+25)+38t-171\frac{1}{2}}\) co daje dwie całeczki \(\displaystyle{ \frac{3}{2}\int dt+\int\frac{38t-171\frac{1}{2}}{(2t-5)^2}dt}\)
5. pierwszej może nie będę omawiał drugą rozbijam przez rozkład na ułamki proste \(\displaystyle{ \frac{A}{2t-5}+\frac{B}{(2t-5)^2}}\) u mnie \(\displaystyle{ A=19}\) a \(\displaystyle{ B=-76\frac{1}{2}}\)
6. \(\displaystyle{ \int \frac{19}{2t-5}dt=\frac{19}{2}\int \frac{1}{t-\frac{5}{2}}dt}\) po odpowiednim podstawieniu \(\displaystyle{ \int \frac{19}{2t-5}dt=\frac{19}{2}ln(t-\frac{5}{2})+C=\frac{19}{2}ln(x-\frac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+19})+C}\)
7. \(\displaystyle{ \int\frac{-76\frac{1}{2}}{(2t-5)^2}dt}\) i tak jak ostatnio po podstawieniu, \(\displaystyle{ u=2t-5}\) i dalej \(\displaystyle{ -76\frac{1}{2}\int \frac{1}{u^2}\frac{du}{2}=38\frac{1}{4}u^{-1}+C=38\frac{1}{4}\frac{1}{2t-5}+C=38\frac{1}{4}\frac{1}{2\sqrt{x^2-5x+19}+2x-5}}\)
8. reasumując, ja kończę zadanie z wynikiem:
\(\displaystyle{ \int \frac{3x+2}{\sqrt{x^2-5x+19}}dx=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{3}{2}\sqrt{x^2-5x+19}+\frac{3}{2}x+\frac{19}{2}ln(x-\frac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+19})+38\frac{1}{4}\frac{1}{2x-\frac{5}{2}+2 \sqrt{x^2-5x+19}}}\)
Czyli tak jakby moje rozumowanie było poprawne tylko w części, bo tylko połowicznie mam dobry wynik proszę więc niech ktoś znajdzie trochę czasu i sił by przebrnąć przez to i znaleźć błąd lub naprowadzić na poprawne, w całości, rozwiązanie
ja już sporo czasu spędziłem nad tym problemem, i jak widać bezowocnie
Uprzedzając, w pierwszej całce w siódmym podpunkcie z mianownika z pod potęgi można wyciągnąć 2 ale to i tak nic nie zmieni, sprawdzałem. No i jeszcze jedno, na razie nie wiem jak działają funkcje hiperboliczne więc ten sposób mi nie pomoże.
\(\displaystyle{ \int \frac{3x+2}{\sqrt{x^2-5x+19}}dx}\)
i niby rozwiązałem ale coś jest nie tak i wiem to na pewno ??: bo podstawiam przykładowy argument pod x tak jak do wyniku sugerowanego tak jak do mojego rozwiązania, wartość powinna być taka sama a nie jest
sugerowane rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 3\sqrt{x^2-5x+19}+\frac{19}{2}ln(x-\frac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+19})+C}\)
przedstawię całość mojego rozwiązania bo tylko w tedy będziecie mogli znaleźć błąd:
1. zaczynam od pierwszego podstawienia Eulera \(\displaystyle{ \sqrt{x^2-5x+19}=t-x}\) z czego po przekształceniach mam: \(\displaystyle{ x=\frac{t^2-19}{2t-5}}\)
2. różniczkuję stronami, co daje \(\displaystyle{ dx=\frac{2t^2-10t+38}{(2t-5)^2}dt}\)
3. podstawiam \(\displaystyle{ \int \frac{\frac{3t^2-57}{2t-5}+\frac{4t-10}{2t-5}}{\frac{2t^2-5t}{2t-5}-\frac{t^2-19}{2t-5}}\frac{2t^2-10t+38}{(2t-5)^2}dt}\) z czego wynika \(\displaystyle{ \int \frac{6t^2+8t-134}{4t^2-10t+25}dt}\)
4. dzielę licznik przez mianownik \(\displaystyle{ 6t^2+8t-134=\frac{3}{2}(4t^2-20t+25)+38t-171\frac{1}{2}}\) co daje dwie całeczki \(\displaystyle{ \frac{3}{2}\int dt+\int\frac{38t-171\frac{1}{2}}{(2t-5)^2}dt}\)
5. pierwszej może nie będę omawiał drugą rozbijam przez rozkład na ułamki proste \(\displaystyle{ \frac{A}{2t-5}+\frac{B}{(2t-5)^2}}\) u mnie \(\displaystyle{ A=19}\) a \(\displaystyle{ B=-76\frac{1}{2}}\)
6. \(\displaystyle{ \int \frac{19}{2t-5}dt=\frac{19}{2}\int \frac{1}{t-\frac{5}{2}}dt}\) po odpowiednim podstawieniu \(\displaystyle{ \int \frac{19}{2t-5}dt=\frac{19}{2}ln(t-\frac{5}{2})+C=\frac{19}{2}ln(x-\frac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+19})+C}\)
7. \(\displaystyle{ \int\frac{-76\frac{1}{2}}{(2t-5)^2}dt}\) i tak jak ostatnio po podstawieniu, \(\displaystyle{ u=2t-5}\) i dalej \(\displaystyle{ -76\frac{1}{2}\int \frac{1}{u^2}\frac{du}{2}=38\frac{1}{4}u^{-1}+C=38\frac{1}{4}\frac{1}{2t-5}+C=38\frac{1}{4}\frac{1}{2\sqrt{x^2-5x+19}+2x-5}}\)
8. reasumując, ja kończę zadanie z wynikiem:
\(\displaystyle{ \int \frac{3x+2}{\sqrt{x^2-5x+19}}dx=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{3}{2}\sqrt{x^2-5x+19}+\frac{3}{2}x+\frac{19}{2}ln(x-\frac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+19})+38\frac{1}{4}\frac{1}{2x-\frac{5}{2}+2 \sqrt{x^2-5x+19}}}\)
Czyli tak jakby moje rozumowanie było poprawne tylko w części, bo tylko połowicznie mam dobry wynik proszę więc niech ktoś znajdzie trochę czasu i sił by przebrnąć przez to i znaleźć błąd lub naprowadzić na poprawne, w całości, rozwiązanie
ja już sporo czasu spędziłem nad tym problemem, i jak widać bezowocnie
Uprzedzając, w pierwszej całce w siódmym podpunkcie z mianownika z pod potęgi można wyciągnąć 2 ale to i tak nic nie zmieni, sprawdzałem. No i jeszcze jedno, na razie nie wiem jak działają funkcje hiperboliczne więc ten sposób mi nie pomoże.