Przechodząc do układu współrzędnych biegunowych oblicz:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e ^{-\left( x ^{2} +y ^{2} \right) } \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
Zgodnie z poleceniem przechodzę na współrzędne biegunowe:
\(\displaystyle{ x=r \cdot \cos \phi \\
y=r \cdot \sin \phi}\)
Podstawiam za x i y oraz dodaje jakobian:
\(\displaystyle{ \int_{?}^{?}\int_{?}^{?} e ^{-\left( r ^{2} \cos ^{2}\phi +r ^{2} \sin ^{2}\phi \right) }r \mbox{d}r \mbox{d}\phi}\)
Wyciągam r przed nawias i pozbywam się cos i sin z użyciem jedynki trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ \int_{?}^{?}\int_{?}^{?} e ^{-r ^{2} }r \mbox{d}r \mbox{d}\phi}\)
I tutaj stoję w miejscu. Jeżeli spróbuje podstawić wartości graniczne to wyrazy się zredukują i wyjdzie 0. Dodatkowo nie wiem jakie mam podstawić granice po przejściu na układ biegunowy.
Poradziłem się Wolframa Alpha oraz koleżanki. Wolfram podał mi erf, którego nigdy nie przerabiałem, a koleżanka napisała tak:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e ^{-\left( x ^{2} +y ^{2} \right) } \mbox{d}x \mbox{d}y=\int_{0}^{1}\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } e ^{-\left( r ^{2} \cos ^{2}\phi +r ^{2} \sin ^{2}\phi \right) }r \mbox{d}r \mbox{d}\phi=\int_{0}^{1}\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } e ^{-r ^{2}\left(\cos ^{2}\phi + \sin ^{2}\phi \right) }r \mbox{d}r \mbox{d}\phi= \frac{\pi}{2} \int_{0}^{1}e ^{-r ^{2} }r \mbox{d}ri}\)
Następnie podstawiła:
\(\displaystyle{ t=-r ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}t =-2r \mbox{d}r \rightarrow - \frac{1}{2} \mbox{d}t=r \mbox{d}r}\)
I wyszło:
\(\displaystyle{ - \frac{\pi}{4} \int_{-1}^{0}e ^{t} \mbox{d}t}\)
Potem była już łatwa do obliczenia całka oznaczona, tyle że nie rozumiem jej kroków, a że koleżanka przestała być dostępna chwilę po podaniu mi jej rozwiązania to chciałbym spytać Was. Więc:
1. Przy podstawieniu \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), skąd wzięło się \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) przy górnej granicy drugiej całki?;
2. Dlaczego rozwiązując drugą całkę wyrazy się nie zredukowały?;
3. Po podstawieniu \(\displaystyle{ t}\), dlaczego granice całki zmieniły się z \(\displaystyle{ 0,1}\) na \(\displaystyle{ -1,0}\)?.
Znając siebie to rozwiązanie na mój problem jest banalnie proste. W każdym razie proszę Was o wszelką pomoc.
Przechodząc do układu współrzędnych biegunowych oblicz...
Przechodząc do układu współrzędnych biegunowych oblicz...
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2016, o 19:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Przechodząc do układu współrzędnych biegunowych oblicz...
Moim zdaniem rozwiązanie Twojej koleżanki jest błędne, bo wyjściowa całka jest po prostokącie, a potem masz prostokąt w biegunowych, który w początkowych współrzędnych odpowiada wycinkowi koła. Nie widzę, jak uzyskać rozwiązanie bez funkcji błędu (czyli \(\displaystyle{ \textbf{erf}(x)}\)), a już zupełnie nie widzę zastosowania współrzędnych biegunowych. Jesteś pewien, że granice całkowania są napisane poprawnie?
Przechodząc do układu współrzędnych biegunowych oblicz...
Takie było podane zadanie na egzaminie. Nie kojarzę bym kiedykolwiek używał błędu funkcji, a samo zadanie każe przejść na współrzędne biegunowe.
[ciach]
[ciach]
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2016, o 19:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieregulaminowy zapis - obrazki zamiast zapisu w LaTeX-u.
Powód: Nieregulaminowy zapis - obrazki zamiast zapisu w LaTeX-u.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Przechodząc do układu współrzędnych biegunowych oblicz...
Może tak:
\(\displaystyle{ ....=\int_{0}^{ \frac{\pi}{4} } \left( \int_{0}^{ \frac{1}{\cos \alpha } }e ^{-r^2}r\dd r \right) \dd \alpha +\int_{ \frac{\pi}{4} }^{ \frac{\pi}{2} } \left( \int_{0}^{ \frac{1}{\sin \alpha } }e ^{-r^2}r\dd r \right) \dd \alpha}\)\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e ^{-\left( x ^{2} +y ^{2} \right) } \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
Przechodząc do układu współrzędnych biegunowych oblicz...
kerajs, Nie rozumiem Twojego rozwiązania.
W sensie, skąd wzięły się te granice, czemu są dwie całki podwójne i jak to potem policzyć (ten ułamek z cosinusem mnie myli i pewnie pomylę się zapisując granice).
Mógłbyś pokazać swój tok myślenia?
W sensie, skąd wzięły się te granice, czemu są dwie całki podwójne i jak to potem policzyć (ten ułamek z cosinusem mnie myli i pewnie pomylę się zapisując granice).
Mógłbyś pokazać swój tok myślenia?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Przechodząc do układu współrzędnych biegunowych oblicz...
Kwadrat będący obszarem całkowania przy przejściu na współrzędne biegunowe nie jest obszarem normalnym. Dzielę go na dwa trójkąty prostą \(\displaystyle{ y=x}\) dostając dwa obszary normalne, więc i dwie
całki. W trójkącie o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,0), (1,0),(1,1)}\) promień wodzący obraca się w I ćw. od prostej \(\displaystyle{ y=0}\) do \(\displaystyle{ y=x}\) dając ograniczenie dla kąta: \(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le \frac{\pi}{4}}\). Długość promienia wodzącego ogranicza prosta \(\displaystyle{ x=1}\). Stąd \(\displaystyle{ r\cos \alpha =1 \Rightarrow r= \frac{1}{\cos \alpha }}\). Dlatego w tym trójkącie (i w pierwszej całce) promień zmienia się w granicach: \(\displaystyle{ 0 \le r \le \frac{1}{\cos \alpha}}\). W drugim trójkącie (będącym obszarem całkowania drugiej całki) granice znajdź samodzielnie.
Edit:
W swoim poprzednim poscie chciałem jedynie pokazać Ci jak przejść do prawidłowych granic całkowania dla współrzędnych biegunowych. Przyznaję, wtedy w ogóle nie zastanawiałem się nad rozwiązywalnością uzyskanej całki. O ile całkowanie po promieniu jest proste, to późniejsza całka po kącie jest nieelementarna. Nie wiem czy, oraz jak rozwiązywaliście takie całki.
całki. W trójkącie o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,0), (1,0),(1,1)}\) promień wodzący obraca się w I ćw. od prostej \(\displaystyle{ y=0}\) do \(\displaystyle{ y=x}\) dając ograniczenie dla kąta: \(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le \frac{\pi}{4}}\). Długość promienia wodzącego ogranicza prosta \(\displaystyle{ x=1}\). Stąd \(\displaystyle{ r\cos \alpha =1 \Rightarrow r= \frac{1}{\cos \alpha }}\). Dlatego w tym trójkącie (i w pierwszej całce) promień zmienia się w granicach: \(\displaystyle{ 0 \le r \le \frac{1}{\cos \alpha}}\). W drugim trójkącie (będącym obszarem całkowania drugiej całki) granice znajdź samodzielnie.
Edit:
W swoim poprzednim poscie chciałem jedynie pokazać Ci jak przejść do prawidłowych granic całkowania dla współrzędnych biegunowych. Przyznaję, wtedy w ogóle nie zastanawiałem się nad rozwiązywalnością uzyskanej całki. O ile całkowanie po promieniu jest proste, to późniejsza całka po kącie jest nieelementarna. Nie wiem czy, oraz jak rozwiązywaliście takie całki.
Ostatnio zmieniony 6 wrz 2016, o 07:27 przez kerajs, łącznie zmieniany 1 raz.
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Przechodząc do układu współrzędnych biegunowych oblicz...
Premislav ma rację, wynik całkowania to
\(\displaystyle{ \left(\int_0^1 \exp (-t^2) \,\textrmdt\right)^2}\)
i nie sposób tego uprościć. Może chodziło jednak o całkę Gaussa?
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb R^2} \exp (-x^2-y^2) \, d\lambda^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty r \exp(-r^2) \,\textrm dr \,\textrm d\theta = \pi}\).
Żeby uzyskać ten rezultat wystarczy podstawić \(\displaystyle{ u = r^2}\).
\(\displaystyle{ \left(\int_0^1 \exp (-t^2) \,\textrmdt\right)^2}\)
i nie sposób tego uprościć. Może chodziło jednak o całkę Gaussa?
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb R^2} \exp (-x^2-y^2) \, d\lambda^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty r \exp(-r^2) \,\textrm dr \,\textrm d\theta = \pi}\).
Żeby uzyskać ten rezultat wystarczy podstawić \(\displaystyle{ u = r^2}\).