Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
stuart clark
Użytkownik
Posty: 136 Rejestracja: 21 sty 2011, o 12:36Płeć: MężczyznaPodziękował: 3 razy Pomógł: 3 razy
Post
autor: stuart clark 25 sie 2016, o 20:04
\(\displaystyle{ \displaystyle \int^{1}_{0}\frac{\ln^2(1-x)}{x}dx}\)
dec1
Użytkownik
Posty: 714 Rejestracja: 21 mar 2016, o 21:42Płeć: MężczyznaPomógł: 191 razy
Post
autor: dec1 25 sie 2016, o 20:40
Przez części
luka52
Użytkownik
Posty: 8601 Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54Płeć: MężczyznaLokalizacja: KrakówPodziękował: 47 razy Pomógł: 1816 razy
Post
autor: luka52 25 sie 2016, o 20:41
Ukryta treść:
Podstawiając
\(\displaystyle{ t = 1 - x}\) mamy:
\(\displaystyle{ I = \int_1^0 \frac{\ln^2 t}{1 - t} \, (- \dd t) = \int_0^1 \frac{\ln^2 t}{1 - t} \, \dd t = \int_0^1 \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n \ln^2 x \, \dd x}\)
Policzmy:
\(\displaystyle{ $\begin{align*}\int_0^1 x^n \ln^2 x \,\dd x &= \frac{\ln^2 x}{(n+1)} x^{n+1} \Big|_0^1 - \frac{2}{n+1}\int_0^1 x^n \ln x \, \dd x = \frac{2}{(n+1)^2} \int_0^1 x^n \, \dd x \\ &= \frac{2}{(n+1)^3}\end{align*}$}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ I = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2}{(n+1)^3} = 2 \zeta(3) \;.}\)
