Strona 1 z 1

kilka zadań z PP

: 4 wrz 2007, o 11:57
autor: ggx
Proszę o rozwiązanie kilku zadań. Każda osoba, którą pytam podaje inny wynik, a ja nie jestem pewny swoich rozwiązań.

1. obliczyć \(\displaystyle{ y''+y' = cos2x}\)
2. obliczyć gradient \(\displaystyle{ e^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}}\)
3. obliczyć moment obszaru ograniczonego liniami \(\displaystyle{ x=2; y=0; y=x^3}\)
4. obliczyć promień dla \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^{n} n!}{(2n)!} x^{n}}\)
5. obliczyć Pracę siły \(\displaystyle{ F=[x+y^{2}, x^{2}+y]}\) po łuku \(\displaystyle{ y=x^{3}}\) od A[0,0] do B[1,1]
6. Dane jest pole wektorowe \(\displaystyle{ F[\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}; \frac{2}{y}- \frac{x}{y^{2}}]}\) . Sprawdzić czy pole wektorowe jest polem potencjalnym
7. obliczyć 1/4 masy koła o równaniu \(\displaystyle{ y^{2} + x^{2} = R^{2}}\) (z całki podwójnej)

Lekko poprawiłem zapis. luka52

kilka zadań z PP

: 4 wrz 2007, o 14:24
autor: luka52
ad 2.
\(\displaystyle{ \nabla ft( e^{\sqrt{x^2 + y^2}} \right) = ft[ \frac{x e^{\sqrt{x^2 + y^2}}}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \, \frac{y e^{\sqrt{x^2 + y^2}}}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right]}\)

ad 3.
Moment statyczny czy bezwładności

ad 6.
\(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial y} ft( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = -y^{-2}\\
\frac{\partial}{\partial x} ft( \frac{2}{y} - \frac{x}{y^2} \right) = - y^{-2}}\)

Czyli pole to jest polem potencjalnym

ad 7.
Zakładam, że gęstość koła jest stała.
Wtedy:
\(\displaystyle{ M = \rho t\limits_0^{\pi /2} \, \mbox{d}\theta t\limits_0^R r \, \mbox{d}r = \frac{\rho \pi R^2}{4}}\)

kilka zadań z PP

: 4 wrz 2007, o 14:40
autor: ggx
ad 3. Statyczny, zapomniałem dopisać.
ad 7. Gęstość stała. Mógłbyś wytłumaczyć i rozpisać rozwiązanie?

Dzięki za odpowiedzi i poprawki.

kilka zadań z PP

: 4 wrz 2007, o 15:05
autor: luka52
ad 7.
Gęstość jest stała więc można ją wyłączyć przed całki. Same całki to pole ćwiartki koła we wsp. biegunowych - promień zmienia się od 0 do R, a kąt od 0 do pi/2 - tak jak w ćwiartce koła.

ad 3.
No dobrze, ale względem czego jeszcze należy ten moment statyczny obliczyć

kilka zadań z PP

: 4 wrz 2007, o 20:34
autor: Amon-Ra
Ad 4. Możesz się posłużyć definicją promienia zbieżności:

\(\displaystyle{ R=\limsup_{n\to\infty }\frac{1}{\lambda_n} \\ \lambda_n = \sqrt[n]{|a_n|}}\)

\(\displaystyle{ a_n}\) to oczywiście n-ty wyraz ciągu, z którym związany jest szereg funkcyjny. Po skorzystaniu np. z twierdzenia o trzech ciągach otrzymasz \(\displaystyle{ \lambda\to 0}\) i przez to nieskończony promień zbieżności, stąd szereg funkcyjny jest zbieżny \(\displaystyle{ \forall_{x\in\mathbb{R}}}\).

Ad 5. Praca to całka krzywoliniowa:

\(\displaystyle{ W=\int_s \vec{F}\circ d\vec{s}}\)

Ale \(\displaystyle{ y=x^3}\), zatem \(\displaystyle{ d\vec{s}=\left[ dx, 3x^2dx \right]}\) oraz:

\(\displaystyle{ W=\int_{x_1}^{x_2}\left[ x+x^6, \ x^2+x^3]\circ ft[ 1, \ 3x^2\right] dx}\)

kilka zadań z PP

: 5 wrz 2007, o 11:57
autor: max
Amon-Ra pisze:Ad 4. Możesz się posłużyć definicją promienia zbieżności:

\(\displaystyle{ R=\limsup_{n\to\infty }\frac{1}{\lambda_n} \\ \lambda_n = \sqrt[n]{|a_n|}}\)
Raczej \(\displaystyle{ R =\liminf_{n\to } \frac{1}{\lambda_{n}}}\)
Nie jest to jednak definicja promienia zbieżności, tylko twierdzenie Cauchy-ego-Hadamarda, które z tej definicji wynika.
Promień zbieżności szeregu postaci:
\(\displaystyle{ \sum_{n = k}^{\infty}a_{n}x^{n}}\)
definiuje się jako kres górny przedziału, w którym szereg ten jest zbieżny.

kilka zadań z PP

: 5 wrz 2007, o 12:17
autor: Amon-Ra
Owszem, niemniej jednak wzór jest poprawny i może być wykorzystany do obliczenia promienia, czemu chyba nie zaprzeczysz .

kilka zadań z PP

: 5 wrz 2007, o 12:27
autor: max
Nie chcę, aby powstały jakieś niejasności dla autora tematu, więc napiszę tak:
\(\displaystyle{ R = \liminf_{n\to } \frac{1}{\lambda_{n}}}\)
ten wzór jest poprawny i pomocny przy obliczaniu promienia zbieżności.
Pozdrawiam