Obliczyć całkę

[Karolina93]

Hej. Jak obliczyć poniższą całkę ?
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } e^{-t}t^{ -\frac{1}{2}}dt}\)
Proszę o wskazówki

[Premislav]

To jest \(\displaystyle{ \Gamma\left( \frac 1 2\right)}\). Scalkuj raz przez części, wykorzystując to, że
\(\displaystyle{ t^{-1/2}= \frac{d}{dt} \left( 2t^{1/2}\right)}\), a następnie w otrzymanej całce podstaw \(\displaystyle{ t= \frac{x^2}{2}}\). Następnie możesz wykorzystać to, że
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}dx=\sqrt{2\pi}}\) - by doprowadzić do takiej całki, znowu raz scalkuj przez części, a następnie wykorzystaj parzystość.
A wartość tej całki, z którą wyjechałem, ładnie się liczy we współrzędnych biegunowych (tzn. dokładniej to liczymy jej kwadrat).

-- 4 cze 2016, o 10:55 --

Wynik końcowy powinien wyjść bodajże \(\displaystyle{ \sqrt{\pi}}\)

[Karolina93]

Robię to tak:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} e^{-t}t^{ -\frac{1}{2}}dt = \begin{cases} u = e^{-t} \ v'=t^{-\frac{1}{2}} \\ u'=-e^{-t} \ v=2t^{\frac{1}{2}} \end{cases}=2t^{\frac{1}{2}}e^{-t}|^{\infty}_{0}+2 \int_{0}^{\infty} e^{-t}t^{\frac{1}{2}}dt=2 \int_{0}^{\infty} e^{-t}t^{\frac{1}{2}}dt= \begin{cases} t= \frac{x^{2}}{2} \\ dt=xdx \end{cases}= \int_{0}^{\infty}e^{- \frac{x^{2}}{2}} \left( \frac{x^{2}}{2}\right)^{-\frac{1}{2}}xdx}\)

Czy do tego momentu jest dobrze ? Jeśli tak to co dalej ?

Następnie możesz wykorzystać to, że
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}dx=\sqrt{2\pi}}\)

Jak oblicza się taką całkę ?

[Premislav]

Nie wiem, czy to nie jakaś literówka, ale po podstawieniu powinnaś mieć
\(\displaystyle{ 2\int_{0}^{\infty}e^{- \frac{x^{2}}{2}} \left( \frac{x^{2}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}xdx}\)
- nie ma tego minusa w wykładniku (wszak scałkowałaś przez części, by się tego pozbyć) i zgubiłaś dwójkę. Teraz z parzystości funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^{2}e^{- \frac{x^{2}}{2}}}\)
otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ 2\int_{0}^{\infty}e^{- \frac{x^{2}}{2}} \left( \frac{x^{2}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}xdx= \frac{2}{\sqrt{2}} \int_{0}^{+\infty } x^{2}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx= \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx= \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{-\infty}^{+\infty} x\left( -e^{-\frac{x^{2}}{2}}\right)' \mbox{d}x}\) i dalej wiadomo.

Niech \(\displaystyle{ I= \int_{-\infty}^{+\infty}e^{- \frac{x^{2}}{2} }\mbox{d}x}\). Oczywiście \(\displaystyle{ I>0}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ I^{2}= \int_{-\infty}^{+\infty}e^{- \frac{x^{2}}{2} }\mbox{d}x \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- \frac{y^{2}}{2} }\mbox{d}y}\)
Następnie skorzystaj z twierdzenia Fubiniego i wprowadź współrzędne biegunowe.

[Karolina93]

Dzięki :-*