Matematyka.pl

hej.. mam za zadanie obliczyć całkę używając podstawienia trygonometrycznego

\(\displaystyle{ \int\frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx}\)

no to lecim

\(\displaystyle{ x=\sin{t}}\)
\(\displaystyle{ dx=\cos{t}dt}\)

podstawiając otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \int\frac{\cos^{2}{t}}{\sin^{2}{t}}dt}\)
moge zamienic \(\displaystyle{ \cos^{2}{t}=1-sin^{2}{t}}\)
ale i tak nie wiem co z tym dalej.. jakaś pomoc??
poza tym wydaje mi się że bym to szybciej przez zwykłe podstawienie policzył.. no może się mylę nie próbowałem

Temat nie powinien zawierać wzorów matematycznych. luka52

Dalej masz już tylko elementarne całki.

Można też podstawić: \(\displaystyle{ t = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}}\)
Wtedy całka sprowadza się do:
\(\displaystyle{ - t \frac{t^2 \, \mbox{d}t}{1+t^2} = -t + \arctan t + C = C - \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} + \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}}\)
Taka ciekawostka

bolo jak napisze hudzikowi, że dalej są już tylko elementarne całki to mnie obleje

ja nie widze nic elementarnego w \(\displaystyle{ \int\frac{1}{\sin^{2}{x}}}\)

To ja wiem, chociaż z nim nie miałem zajęć

\(\displaystyle{ \int\frac{\mbox{d}x}{\sin^{2}x}=-\cot{x}+C}\) czyż nie?

Ściślej mówiąc:

\(\displaystyle{ \int\frac{\mbox{d}x}{\sin^{2}x}=\int\frac{1+\tan^{2}x}{\tan^{2}x}\mbox{d}x\stackrel{x=\arctan{t}}{=}\int\frac{\mbox{d}x}{t^{2}}=-\frac{1}{t}+C=-\cot{x}+C}\)