Udowodnij równość

[Dario1]

Udowodnij równość:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi}xf\left( \sin x\right)dx= \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi}f\left( \sin x\right)dx}\)

Chciałem zrobić to przez części rozpisując prawą stronę i powinno wyjść, ale dostaje zależność nieco inną. Rozwiązanie jest trochę inne jednak interesuje mnie czy przez części da się to zrobić?

[szw1710]

Przenosząc wszystko na lewą stronę łatwo zauważamy, że nowa funkcja podcałkowa jest symetryczna względem \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\). Można więc wprowadzić podstawienie \(\displaystyle{ t=x-\frac{\pi}{2}}\). DOjdziemy do funkcji nieparzystej na przedziale symetrycznym względem zera. Całka takiej funkcji znika. Wystarczy założenie, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) ma pierwotną.

[Dario1]

No ta tak to robili u mnie na ćwiczeniach. Pytanie czy przez części się da.

[szw1710]

Nie sądzę. Nie masz potrzebnych założeń. Po co się przywiązujesz do tej metody, skoro masz tak prosty sposób?

[a4karo]

Z ciekawości: możesz pokazać jak to robisz przez części i do fajnego Ci wychodzi?

[Dario1]

No wychodzi mi po prostu coś takiego:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi}xf\left( \sin x\right)dx=x _{0} ^{\pi} \int_{0}^{\pi}f\left( \sin x\right)dx- \int_{0}^{\pi}f\left( \sin x\right)dx=\left( \pi-1\right) \int_{0}^{\pi}f\left( \sin x\right)dx}\)

[a4karo]

A znasz wzór na calkowanie przez części?

[miodzio1988]

No wychodzi mi po prostu coś takiego:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi}xf\left( \sin x\right)dx=x _{0} ^{\pi} \int_{0}^{\pi}f\left( \sin x\right)dx- \int_{0}^{\pi}f\left( \sin x\right)dx=\left( \pi-1\right) \int_{0}^{\pi}f\left( \sin x\right)dx}\)

Czym jest \(\displaystyle{ x_0}\) ?

[szw1710]

Pochodną zawsze liczy się w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\), granicę też.

[miodzio1988]

A to już wszystko jasne

[Dario1]

Tak jest błąd widzę. Chyba wyszłoby coś takiego:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi}xf\left( \sin x\right)dx=x _{0} ^{\pi} \int_{0}^{\pi}f\left( \sin x\right)dx- \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}f\left( \sin x\right)dxdx}\)

[miodzio1988]

No wychodzi mi po prostu coś takiego:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi}xf\left( \sin x\right)dx=x _{0} ^{\pi} \int_{0}^{\pi}f\left( \sin x\right)dx- \int_{0}^{\pi}f\left( \sin x\right)dx=\left( \pi-1\right) \int_{0}^{\pi}f\left( \sin x\right)dx}\)

Czym jest \(\displaystyle{ x_0}\) ?

Jeszcze raz się zapytam...

Już Ci Przemek zwracał uwagę. Wyrażaj swoje myśli sensownie, bo o każdy szczegół na forum bedziesz pytany.

-- 17 maja 2016, 21:10 --

Tak jest błąd widzę. Chyba wyszłoby coś takiego:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi}xf\left( \sin x\right)dx=x _{0} ^{\pi} \int_{0}^{\pi}f\left( \sin x\right)dx- \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}f\left( \sin x\right)dxdx}\)

Jak Ci całka podwójna wyszła?

[szw1710]

W sumie to tam nie ma podwójnej, bo liczysz wewnętrzną, rzuczasz przed całkę (funkcji jedynkowej), więc ta "podwójna" to \(\displaystyle{ \pi\int_0^{\pi}f(\sin x)\dd x.}\)

Ale można się tu dowiedzieć dużo radosnej matematyki. Może niekoniecznie prawdziwej, ale radosnej na pewno.

[Dario1]

Nie ma żadnego \(\displaystyle{ x _{0}}\), po prostu nie wiem jak zrobić granicę całkowania w latexie.

[miodzio1988]

Ta potęga przy \(\displaystyle{ x_0}\) też jest ciekawa. Tak się śmiejemy, ale to dosyć smutne jest w sumie

Bo to są bzdury które na tym poziomie już nie powinny mieć miejsca.-- 17 maja 2016, 21:22 --O jaką granicę całkowania chodzi?