Całka nieoznaczona

[crayan4]

Taka całka:

\(\displaystyle{ \int{\frac{ln(x) - 1}{ln^2(x)}}dx}\)

prose o pomoc

Poprawiłem temaciczek, tak że jest teraz okejsik!...
luka52

[mostostalek]

hmmm.. że tak zacznę

\(\displaystyle{ \int{\frac{ln(x) - 1}{ln^2(x)}}dx=\int\frac{1}{\ln x}dx-\int\frac{1}{\ln ^{2}x}dx}\)

Wrzucając choćby pierwszą całkę do wyskakuje dziwna funkcja LogIntegral o której niestety nie słyszałem.. hmm może jakoś inaczej by się dało za pomocą normalnych funkcji ale nie sądzę.. jak widzę póki co nikt nie ma pomysłu jak to rozwiązać a tutaj niezłe łebki więc porażka

[soku11]

Latwiej chyba bedzie tak:
\(\displaystyle{ \int{\frac{ln(x) - 1}{ln^2(x)}}dx=
t{\frac{x(ln(x) - 1)}{xln^2(x)}}dx\\
ln(x)=t\\
\frac{1}{x}dx=dt\\
x=e^{t}\\
t \frac{e^{t}(t-1)}{t^{2}}dt=
t \frac{e^{t}t-e^{t}}{t^{2}}dt=
t \frac{e^{t}t}{t^{2}}dt-\int \frac{e^{t}}{t^{2}}dt=
t \frac{e^{t}}{t}dt-\int \frac{e^{t}}{t^{2}}dt=??}\)

Dalej pokombinuj POZDRO

[luka52]

Podstawienie \(\displaystyle{ t = \frac{\ln x}{x}, \quad dt = \frac{1- \ln x}{x^2}dx}\)
\(\displaystyle{ I = t \frac{- x^2 \, dt}{x^2 t^2} = - t \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{t} + C = \frac{x}{\ln x} + C}\)

mostostalek, ta dziwna funkcja to logarytm całkowy.

[soku11]

luka52, a czy daloby rade moim sposobem jakos to pociagnac dalej, czy nie ma sensu kombinowac?? POZDRO

[luka52]

soku11, na siłę to da
\(\displaystyle{ \int \frac{t-1}{t}e^t \, dt}\)
Podstawienie \(\displaystyle{ u = \frac{e^t}{t}, \quad du = \frac{t-1}{t}e^t}\)
\(\displaystyle{ \int du = u + C = \frac{e^t}{t} + C = \ldots}\)