Matematyka.pl

Ciekawa Całka...trochę skomplikowana...
Mam mały problem...
\(\displaystyle{ \int_{0}^{4\root{2}\of{3}}\frac{x}{x^{4}+1}dt}\)

1° Nie używaj znaków '$' w kodzie LaTeX-a.
2° Czy nie lepiej użyć funkcji \sqrt[]{} zamiast \root{}\of{} ?
luka52

Tam nie powinno być przypadkiem \(\displaystyle{ \mbox{d}x}\) ?
Jeśli tak, to wystarczy podstawić:
\(\displaystyle{ t = x^{2}}\)

\(\displaystyle{ x^{4}+1=(x^{4}+2x^{2}+1)-2x^{2}= (x^{2}+1- \sqrt{2}x)(x^{2}+1+ \sqrt{2}x)}\)

Rozkładamy ułamek podcałkowy na ułamki proste:
\(\displaystyle{ \frac{A}{x^{2}+1- \sqrt{2}x} +\frac{B}{x^{2}+1+ \sqrt{2}x}=\frac{x}{x^{4}+1}}\)
Stąd otrzymujemy: \(\displaystyle{ A=\frac{\sqrt{2}}{4},B=-\frac{\sqrt{2}}{4}}\)

Zatem dana całkę możemy zapisać:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{4} t \[ \frac{1}{x^{2}-\sqrt{2}x+1} - \frac{1}{x^{2}+\sqrt{2}x+1} \]dx}\)
---------------------------------------------------
Zajmiejmy sie pierwsza całką: \(\displaystyle{ \int \frac{1}{x^{2}-\sqrt{2}x+1}dx}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-\sqrt{2}x+1=(x-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(2(x-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+1)=\frac{1}{2}((\sqrt{2}x-1)^{2}+1)}\)
Wracamy teraz do całki:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x^{2}-\sqrt{2}x+1}dx= t \frac{2dx}{(\sqrt{2}x-1)^{2}+1}=...}\)
Robimy podstawienie:\(\displaystyle{ \sqrt{2}x-1=t}\)
\(\displaystyle{ ...=\sqrt{2} t \frac{dt}{t^{2}+1}=\sqrt{2} arctgt +C= \sqrt{2}arctg(\sqrt{2}x-1)+C}\)

Druga całkę robi się analogicznie.
----------------------------------------------------

Mam nadzieje,ze nie pomylilam sie w rachunkach.

Niech:
\(\displaystyle{ t = x^{2}}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ \mbox{d}t = 2x\, \\
t\limits_{0}^{4\sqrt{3}} \frac{x\, }{x^{4} + 1} = \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{48}\frac{\mbox{d}t}{t^{2} + 1} =\frac{1}{2} \arctan t \big|_{0}^{48} = \frac{\arctan 48}{2}}\)

(: