kryterium całkowe zbieżności szeregu

[chemik1520]

\(\displaystyle{ \sum_{2}^{ \infty } \frac{ln n}{n^2}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } \frac{1}{n \sqrt{n+1} }}\)

[Premislav]

Wystarczy, że pokażesz, iż
(pierwszy przykład) \(\displaystyle{ \int_{2}^{ \infty } \frac{\ln x}{x^{2}}dx}\) jest zbieżna

oraz (drugi przykład) \(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } \frac{dx}{x \sqrt{x+1} }dx}\) jest zbieżna.

Obie całki są bardzo łatwe, więc proponuję się nie bawić z szacowaniami, tylko po prostu policzyć nieoznaczone i wstawić granice całkowania. Pierwszą liczysz przez części, różniczkując logarytm, zaś całkując \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}}}\), a drugiej możesz np. podstawić \(\displaystyle{ \sqrt{x+1}=t}\). A jak chcesz jednak szacować, to w drugim np. \(\displaystyle{ \frac{1}{x \sqrt{x+1} } <x^{-\frac 3 2}}\)

[chemik1520]

W temacie jest, że mają być z całkowego, ale jak je rozwiązać? Nie mam żadnego pomysłu, chyba już mnie dopadło zaćmienie :<

[Premislav]

Ojej no, napisałem, że pierwszą przez części, a drugą przez podstawienie, nie czytasz.

1) \(\displaystyle{ \int_{2}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^{2}}dx=\bigg| u=\ln x, dv= \frac{1}{x^{2}}, v=- \frac{1}{x}\bigg|=- \frac{\ln x}{x}\bigg|^{\infty}_{2}+ \int_{2}^{ +\infty } \frac{dx}{x^{2}}=...}\)

2) \(\displaystyle{ \int_{1}^{ +\infty } \frac{dx}{x \sqrt{x+1} }dx=\bigg|t=\sqrt{x+1}, x=t^{2}-1, \mbox{d}x=2t \mbox{d}t\bigg|=2 \int_{\sqrt{2}}^{+\infty} \frac{dt}{t^{2}-1}}\) i rozkład na ułamki proste, a potem korzystasz z \(\displaystyle{ \ln a -\ln b=\ln \frac{a}{b}}\)

[chemik1520]

Damn it, faktycznie, przepraszam. Dzięki wielkie!