Całka nieoznaczona

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Dragon339
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 15 wrz 2011, o 18:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 2 razy

Całka nieoznaczona

Post autor: Dragon339 »

Witam, mógłby mi ktoś pomóc to rozwiązać? Z tego co mi się wydaje trzeba użyć tutaj podstawienia pod tg, ale nie za bardzo mi wychodziło.
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{2}{3*sinx+2*cosx-4}dx}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{arctgx}{ \sqrt{1+x^2} }* \frac{1}{x^2+1}dx}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Całka nieoznaczona

Post autor: Premislav »

1. Mamy \(\displaystyle{ \sin x= \frac{2\sin \frac x 2 \cos \frac x 2}{\sin^{2}\frac x 2+\cos^{2}\frac x 2}= \frac{2\tg \frac x 2}{1+\tg^{2}\frac x 2}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos x= \frac{\cos^{2}\frac x 2-\sin^{2}\frac x 2}{\cos^{2}\frac x 2+\sin^{2}\frac x 2} = \frac{1-\tg^{2}\frac x 2}{1+\tg^{2}\frac x 2}}\). Podstaw
\(\displaystyle{ t=\tg \frac{x}{2}\\x=2\arctan t\\ dx= \frac{2dt}{1+t^{2}}}\)
2. Podstaw
\(\displaystyle{ t=\arctan x \\ dt= \frac{dx}{1+x^{2}}\\x=\tg t}\)
i skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ 1+\tg^{2}t=\frac{1}{\cos^{2}t}}\)
Dalej trywialnie przez części.
Dragon339
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 15 wrz 2011, o 18:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 2 razy

Całka nieoznaczona

Post autor: Dragon339 »

Czyli powiedzmy pierwszy przykład, mamy po podstawieniu
\(\displaystyle{ 2*\int_{}^{} \frac{1}{3* \frac{2*t}{1*t^2}+2* \frac{1-t^2}{1+t^2}-4 }* \frac{2}{1+t^2}dt}\)
Teraz wspólny mianownik i wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ 4* \int_{}^{} \frac{1}{ \frac{-2-6*t^2+6*t}{1+t^2} }* \frac{1}{1+t^2}dt}\)
Można skrócić teraz
\(\displaystyle{ 4* \int_{}^{} \frac{1}{-2-6*t^2+6*t}}\)
\(\displaystyle{ 4* \int_{}^{} - \frac{1}{2}- \int_{}^{} \frac{1}{6*t^2}+ \int_{}^{} \frac{1}{6*t}}\)
Sensownie to wygląda? Bo robiłem tak i wolfram pokazuje trochę inny wynik.

//

Już widzę co źle zrobiłem
Ostatnio zmieniony 20 mar 2016, o 12:29 przez Dragon339, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
cosinus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

Całka nieoznaczona

Post autor: cosinus90 »

Przy przejściu z przedostatniej do ostatniej linijki popełniasz błąd. Nie wolno w taki sposób rozbijać ułamków.

Całkę \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{-6t^2+6t-2} \mbox{d}x}\) możesz obliczyć sprowadzając trójmian kwadratowy w mianowniku do postaci kanonicznej, a następnie podstawiając w odpowiedni sposób dążąc do arcus tangensa jako wyniku. Warto też wyłączyć \(\displaystyle{ -2}\) z mianownika, to trochę zmniejszy liczby.
ODPOWIEDZ