całka nieoznaczona przez podstawienie

[josef871]

mam problem z tą całką:
\(\displaystyle{ \int \sqrt{1 - x^{2}} dx}\) w książce mam opisany ten przykład lecz nie wiem dlaczego za x podstawia się sint . Szperałem po różnych wzorach ale do niczego nie doszłem...

[Nty]

Za \(\displaystyle{ x}\) podstawiamy \(\displaystyle{ \sin{t}}\), żeby skorzystać z jedynki trygonometrycznej i uwolnić się od pierwiastka.

\(\displaystyle{ \int \sqrt{1 - x^{2}} dx= ft| x=\sin{t} | dx=\cos{t}dt \right|= t \cos{t}\sqrt{1-\sin^2{t}}dt=\int \cos^2{t}dt=}\)
\(\displaystyle{ =\int ft(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos{(2t)} \right)dt=
\frac{1}{2}t +\frac{1}{4}\sin{(2t)}+C= \frac{1}{2}\arcsin{x} +\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+C}\)

[josef871]

jeszcze jedno rozumiem, że później podstawia się tutaj:
\(\displaystyle{ sint = x | t = arcsinx |}\) ale nie rozumiem jeszcze dlaczego za \(\displaystyle{ cost}\) podstawia się \(\displaystyle{ \sqrt{1 - x^{2}}}\) prosze to wytłumaczyć jak dla laika

[Nty]

Dlatego, że
\(\displaystyle{ \cos\left({\arcsin{x}}\right)=\sqrt{1-\sin^2{(\arcsin{x})}}=\sqrt{1-x^2}}\)
analogicznie
\(\displaystyle{ \sin\left({\arccos{x}}\right)=\sqrt{1-x^2}}\)
Poniżej rysunek objaśniający:

[josef871]

dzięki