całka do obilczenia przez podstawienie

[josef871]

prosze o wytłumaczenie jak dojść do tego drugiego kroku przy obliczniu tej całki, jakoś nie mogę tego obliczyć:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sqrt{a^{2} - x^{2}}} = \frac{1}{a} t \frac{dx}{\sqrt{1 - (\frac{x}{a})^{2}}}}\)

[Amon-Ra]

Ale czego nie możesz obliczyć? Przecież chyba jasne jest, dleczego 1/a można wyłączyć przed całkę?

Teraz podstaw \(\displaystyle{ t=\frac{x}{a}}\).

[josef871]

no właśnie nie jest dla mnie to jasne, za dobry z tej analizy to ja nie jestem wręcz dopiero uczę się tych całek

[Emiel Regis]

To nie kwestia całek, pod pierwiastkiem masz a^2 to jak wyciagniesz to zostanie samo a.

\(\displaystyle{ \sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2(1-\frac{x^2}{a^2})}=a \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}}\)

[luka52]

Następnym razem takie pytania proszę umieszczać w Przekształceniach Algebraicznych.

[max]

Przecież chyba jasne jest, dleczego 1/a można wyłączyć przed całkę?

no właśnie nie jest dla mnie to jasne

Ogólnie dla dowolnego \(\displaystyle{ c\in \mathbb{R}}\) i dowolnej różniczkowalnej funkcji \(\displaystyle{ f}\):
\(\displaystyle{ (*)\quad t c f'(x)\, = c\cdot t f'(x)\, }\)

Ponieważ:
\(\displaystyle{ (**) \quad \mbox{d}(c\cdot f(x)) = c\cdot\, \mbox{d}f(x) = c\cdot f'(x)\, }\)
to w myśl definicji funkcji pierwotnej:
\(\displaystyle{ \int c\cdot f'(x)\, = c\cdot f(x)}\)
oraz:
\(\displaystyle{ c\cdot t f'(x)\, = c\cdot f(x)}\)
co kończy dowód równości \(\displaystyle{ (*)}\)

(przy czym wszystkie powyższe równości (z wyjątkiem \(\displaystyle{ (**)}\)) zachodzą z dokładnością do stałych, gdyż dla dowolnej stałej \(\displaystyle{ C\in \mathbb{R}}\) \(\displaystyle{ (f(x))' = (f(x) + C)'}\))