Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{x^2-1}}\)

Ta całka wychodzi w pewnym momencie z obliczania całki:

\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{x^2+2x+4}}\)

I nie wiem co z nią zrobić. Wygląda na megaśnie prostą...

\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2} \frac{x+1 - (x - 1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right)}\)

A tak swoją drogą to przecież: \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x^2 + 2x + 4} = t \frac{dx}{(x+1)^2 + 3} = ft| \sqrt{3} t = x + 1 \right| = t \frac{\sqrt{3} \, dt}{3 (t^2 + 1)} = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{x+1}{\sqrt{3}} + C}\)
Wiec skąd Ci się wzieła ta pierwsza całka

przez rozkład na ułamki proste
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2-1}= \frac{1}{(x-1)(x+1)} =\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}}\)
\(\displaystyle{ 1 \equiv A(x+1)+B(x-1)\\

\mbox{dla } x=1\\

1 \equiv 2A\\
A= \frac{1}{2}\\

\mbox{dla } x=-1\\

1 \equiv -2B\\
B= -\frac{1}{2}\\
\\}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x^2-1}= \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x-1}- \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1}}\)

[EDIT] Spóźniłem się

Dzięki serdeczne... zdaję sobie sprawę że napisałem niejasno ... Pierwotny przykład jaki obliczam to: \(\displaystyle{ \int\frac{4x+1}{x^2+2x+4}dx}\)

I w trakcie nie mogłem sobie poradzić tylko z tym typem całki jaki napisałem, bo podobny wychodzi podczas obliczeń. No ale teraz już załapałem. Dzięki za pomoc.