Sinus pod pierwiastkiem

[Kaktusiewicz]

Witam!
Być może jest to już oznaka wypalenia, ale nie jestem w stanie rozwiązać tego prostego zadania:
Znaleźć pole tej części powierzchni \(\displaystyle{ x^2+y^2=2z}\), która jest zawarta wewnątrz walca \(\displaystyle{ (x^2+y^2)^2=2xy}\)

Z równania walca otrzymujemy warunek na r: \(\displaystyle{ r=\sqrt{sin2\varphi}}\).
Obliczam taką całkę: \(\displaystyle{ |D|=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int\limits_{0}^{\sqrt{sin2\varphi}}\sqrt{1+r^2}rdr=\frac{2}{3}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[(1+sin2\varphi)^\frac{3}{2} -1\right]d\varphi=...}\) (w tym miejscu się zacinam)
Proszę o rady.

[luka52]

Myślę, że podstawienie \(\displaystyle{ t = \tan \varphi}\) powinno pomóc.

BTW. Jakoś nie wydaje mi się, aby w treści był walec

[Kaktusiewicz]

Witam!
Próbowałem podstawienia \(\displaystyle{ \tan\frac{\varphi}{2}=t}\), ale i tak wpędza nas to w "kosmiczne" obliczenia (pierwiastki z wysokich potęg).
Zadanie pochodzi ze zbioru Krysickiego i Włodarskiego.

[luka52]

Chciałbym zauważyć, że jest duża różnica jeśli chodzi o podstawianie \(\displaystyle{ t = \tan \frac{\varphi}{2}}\) i \(\displaystyle{ t = \tan \varphi}\).