Całka oznaczona i wzór rekurencyjny
: 22 sie 2007, o 11:22
Istotą problemu jest obliczenie całki :
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} x^{6}e^{x}dx}\)
i tym podobnych za pomocą wzoru rekurencyjnego:
\(\displaystyle{ J_{n}=\int\ x^{n}e^{x}dx}\)
\(\displaystyle{ J_{n}=x^{n}e^{x}-nJ_{n-1}}\)
\(\displaystyle{ n=1,2,3,...;}\)
Wiem że należy sie posłużyć wzorem podanym powyżej, ale nie wiem jak.
Podana całka
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} x^{6}e^{x}dx=256e-720}\)
Jak się domyslam człon \(\displaystyle{ -720=-n!}\) ale nie wiem skąd się wzięło \(\displaystyle{ 256e=?}\)
Byłbym wdzięczny wyjaśnienie problem lub podanie wzoru na obliczanie całek
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} x^{n}e^{x}dx}\)
W książce znalazłem taki wzór dla
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\pi/2} sin^{n}{x}dx}\)
który to się równał :
\(\displaystyle{ \frac{(n-1)(n-3)*...*3*1}{n(n-2)*...*4*2} *\frac{\pi}{2}}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste
\(\displaystyle{ \frac{(n-1)(n-3)*...*4*2}{n(n-2)*...*5*3} *1}\)gdy \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste
i wynikał ze wzoru rekurencyjnego
\(\displaystyle{ \int\ sin^{n}{x}dx= \frac{-1}{n}cos{x}sin^{n-1}{x}+\frac{n-1}{n}\int\ sin^{n-2}{x}dx}\)
czyli \(\displaystyle{ J_{n}=\int\ sin^{n}{x}dx}\)
\(\displaystyle{ J_{n}=\frac{-1}{n}cos{x}sin^{n-1}{x}+\frac{n-1}{n}J_{n-2}}\)
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} x^{6}e^{x}dx}\)
i tym podobnych za pomocą wzoru rekurencyjnego:
\(\displaystyle{ J_{n}=\int\ x^{n}e^{x}dx}\)
\(\displaystyle{ J_{n}=x^{n}e^{x}-nJ_{n-1}}\)
\(\displaystyle{ n=1,2,3,...;}\)
Wiem że należy sie posłużyć wzorem podanym powyżej, ale nie wiem jak.
Podana całka
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} x^{6}e^{x}dx=256e-720}\)
Jak się domyslam człon \(\displaystyle{ -720=-n!}\) ale nie wiem skąd się wzięło \(\displaystyle{ 256e=?}\)
Byłbym wdzięczny wyjaśnienie problem lub podanie wzoru na obliczanie całek
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} x^{n}e^{x}dx}\)
W książce znalazłem taki wzór dla
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\pi/2} sin^{n}{x}dx}\)
który to się równał :
\(\displaystyle{ \frac{(n-1)(n-3)*...*3*1}{n(n-2)*...*4*2} *\frac{\pi}{2}}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste
\(\displaystyle{ \frac{(n-1)(n-3)*...*4*2}{n(n-2)*...*5*3} *1}\)gdy \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste
i wynikał ze wzoru rekurencyjnego
\(\displaystyle{ \int\ sin^{n}{x}dx= \frac{-1}{n}cos{x}sin^{n-1}{x}+\frac{n-1}{n}\int\ sin^{n-2}{x}dx}\)
czyli \(\displaystyle{ J_{n}=\int\ sin^{n}{x}dx}\)
\(\displaystyle{ J_{n}=\frac{-1}{n}cos{x}sin^{n-1}{x}+\frac{n-1}{n}J_{n-2}}\)