Istotą problemu jest obliczenie całki :
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} x^{6}e^{x}dx}\)
i tym podobnych za pomocą wzoru rekurencyjnego:
\(\displaystyle{ J_{n}=\int\ x^{n}e^{x}dx}\)
\(\displaystyle{ J_{n}=x^{n}e^{x}-nJ_{n-1}}\)
\(\displaystyle{ n=1,2,3,...;}\)
Wiem że należy sie posłużyć wzorem podanym powyżej, ale nie wiem jak.
Podana całka
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} x^{6}e^{x}dx=256e-720}\)
Jak się domyslam człon \(\displaystyle{ -720=-n!}\) ale nie wiem skąd się wzięło \(\displaystyle{ 256e=?}\)
Byłbym wdzięczny wyjaśnienie problem lub podanie wzoru na obliczanie całek
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} x^{n}e^{x}dx}\)
W książce znalazłem taki wzór dla
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\pi/2} sin^{n}{x}dx}\)
który to się równał :
\(\displaystyle{ \frac{(n-1)(n-3)*...*3*1}{n(n-2)*...*4*2} *\frac{\pi}{2}}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste
\(\displaystyle{ \frac{(n-1)(n-3)*...*4*2}{n(n-2)*...*5*3} *1}\)gdy \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste
i wynikał ze wzoru rekurencyjnego
\(\displaystyle{ \int\ sin^{n}{x}dx= \frac{-1}{n}cos{x}sin^{n-1}{x}+\frac{n-1}{n}\int\ sin^{n-2}{x}dx}\)
czyli \(\displaystyle{ J_{n}=\int\ sin^{n}{x}dx}\)
\(\displaystyle{ J_{n}=\frac{-1}{n}cos{x}sin^{n-1}{x}+\frac{n-1}{n}J_{n-2}}\)
Całka oznaczona i wzór rekurencyjny
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Całka oznaczona i wzór rekurencyjny
Szukasz \(\displaystyle{ J_6}\). No to jedziemy:koqwax pisze:Istotą problemu jest obliczenie całki :
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} x^{6}e^{x}dx}\)
i tym podobnych za pomocą wzoru rekurencyjnego:
\(\displaystyle{ J_{n}=\int\ x^{n}e^{x}dx}\)
\(\displaystyle{ J_{n}=x^{n}e^{x}-nJ_{n-1}}\)
\(\displaystyle{ n=1,2,3,...;}\)
Wiem że należy sie posłużyć wzorem podanym powyżej, ale nie wiem jak.
\(\displaystyle{ J_0=\int\limits_{0}^{1} e^{x}dx = ft[ e^x \right]_0^1=e-1}\)
\(\displaystyle{ J_1= ft[ xe^x \right]_0^1 - 1\cdot J_0=e-(e-1)=1}\)
\(\displaystyle{ J_2= ft[ x^2e^x \right]_0^1 - 2\cdot J_1=e-2}\)
\(\displaystyle{ J_3= ft[ x^3e^x \right]_0^1 - 3\cdot J_2=e-3(e-2)=6-2e}\)
\(\displaystyle{ J_4= ft[ x^4e^x \right]_0^1 - 4\cdot J_3=e-4(6-2e)=9e-24}\)
\(\displaystyle{ J_5= ft[ x^5e^x \right]_0^1 - 5\cdot J_4=e-5(9e-24)=120-44e}\)
\(\displaystyle{ J_6= ft[ x^6e^x \right]_0^1 - 6\cdot J_5=e-6(120-44e)=265e-720}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 9 sie 2007, o 14:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 12 razy
Całka oznaczona i wzór rekurencyjny
Teraz już wiem jak to działa, dzięki. No i jeszcze czeski błąd w odpowiedzi książkowej się zakradł. Było napisane \(\displaystyle{ 256e}\) zamiast \(\displaystyle{ 265e}\) Ciężko dzisiaj o dobry podręcznik ??: