Matematyka.pl

No i nie wiem jak rozwiazuje sie tego typu całki prosze o pomoc i z góry dzieki wszystkim za dotychczasowa pomoc tylko prosze o szczegółowy zapis jeśli to możliwe
1. \(\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{2x^{2}-6x+5} }dx}\)
2. \(\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{1+x-x^{2}} }dx}\)
3. \(\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{-2x^{2}+5x+2} }dx}\)
4. \(\displaystyle{ \int \frac{2x+3}{\sqrt{x^{2}+9} }dx}\)
5. \(\displaystyle{ \int \frac{x}{\sqrt{3-2x-x^{2}} }dx}\)
6. \(\displaystyle{ \int \frac{3x-2}{\sqrt{7+6x-x^{2}} }dx}\)

I=\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt{ax^{2}+bx+c} }=\frac{1}{\sqrt{-\Delta}}ln|\frac{2ax+b-\sqrt{-\Delta}}{2ax+b-\sqrt{-\Delta}}|}\)

\(\displaystyle{ \Delta 0}\)

czy aby ten pierwszy wzor jest poprawny ?

4)
\(\displaystyle{ \int \frac{2x+3}{\sqrt{x^{2}+9} }dx =
t \frac{2xdx}{\sqrt{x^{2}+9} }+3\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+9} }\\
\\
t \frac{2xdx}{\sqrt{x^{2}+9} }\\
x^{2}+9=t^{2}\\
2xdx=2tdt\\
t \frac{2tdt}{t}=2\int dt=2t=2\sqrt{x^{2}+9}\\
\\
3\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+9} }\\
x^{2}=9t^{2}\\
x=3t\\
dx=3dt\\
9\int \frac{dt}{\sqrt{9t^{2}+9} }=
9\int \frac{dt}{\sqrt{9(t^{2}+1)} }=
3\int \frac{dt}{\sqrt{t^{2}+1} }=3arsinht=3arsinh(\frac{x}{3})\\
\\
t \frac{2x+3}{\sqrt{x^{2}+9} }dx =2\sqrt{x^{2}+9}+3arsinh(\frac{x}{3})}\)

POZDRO

wszystkie sa poprawnnie zapisane dziekuje za pomoc może te pierwsze cztery całki bym roziwązala a co z 5 i 6 jak ktoś ma pomysł to piszcie

[ Dodano: 21 Sierpnia 2007, 21:56 ]
soku 11 bardzo mi pomagasz dziekuje a dlaczego w 4 przykładzie wyszedł Ci ar sin hiperboliczny bo tego nie wiem

W ksiazce, z ktorej korzystam mam zapisane ze pochodna z \(\displaystyle{ arsinh(x)}\) wynosi wlasnie \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}}\), wiec sie z tym nie kloce i tak po prostu rozwiazuje

Co do 5 to prosze o kogos lepiej poinformowanego odemnie o napisanie, czy mozna tak zaczac, gdyz nie chce nikogo w blad wprowadzac:
\(\displaystyle{ \int \frac{x}{\sqrt{3-2x-x^{2}} }dx =
t \frac{x}{\sqrt{-(x^{2}+2x-3)} }dx =
t \frac{x}{\sqrt{-1}\cdot\sqrt{(x^{2}+2x-3)} }dx =
t \frac{x}{i\cdot\sqrt{(x^{2}+2x-3)} }dx =
\frac{1}{i}\int \frac{x}{\sqrt{(x^{2}+2x-3)} }dx =...}\)
??

POZDRO

nie trzeba az tak kombinowac
\(\displaystyle{ \int \frac{x}{\sqrt{3-2x-x^2}} =-\int \frac{dx}{\sqrt{3-2x-x^2}} - \frac{1}{2} t \frac{-2x - 2}{\sqrt{3-2x - x^2}} \\}\)
1
\(\displaystyle{ 3-2x-x^2 = 4 - (1+2x+x^2) = 4 - (x+1)^2 \\
x+1 = 2t, \ \ dx = 2dt \\
t \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} = \arcsin t +C= \arcsin (\frac{x+1}{2}) + C \\}\)
2
\(\displaystyle{ t = 3 - 2x - x^2, \ \ dt =( -2 - 2x )dx \\}\)

Dodatkowo, skoro \(\displaystyle{ \imath^2 = - 1}\), to \(\displaystyle{ \imath = \sqrt{-1}}\) a nie tylko \(\displaystyle{ \imath = \sqrt{-1}}\).

soku11 pisze:W ksiazce, z ktorej korzystam mam zapisane ze pochodna z \(\displaystyle{ \mathrm{arsinh} (x)}\)wynosi wlasnie \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}}\), wiec sie z tym nie kloce i tak po prostu rozwiazuje

A to przecież bardzo łatwo wyprowadzić z definicji sinusa hiperbolicznego:
\(\displaystyle{ \sinh x= \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}}\)
podstawiając nową zmienną za \(\displaystyle{ e^{x}}\), rozwiązując równanie kwadratowe i wracając do podstawienia otrzymujemy łatwo wzór funkcji odwrotnej:
\(\displaystyle{ \mathrm{arsinh}\, x = \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)}\)
a jak nietrudno sprawdzić:
\(\displaystyle{ \left(\ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right)' = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}}\)