Mam zadanko:
Obliczyć całkę podwójną
\(\displaystyle{ \int\int\limits_{D} \frac{2y}{x}dxdy}\)
jeżeli \(\displaystyle{ D}\) jest obszarem ograniczonym przez parabolę \(\displaystyle{ y=3\sqrt{x}}\) oraz prostą \(\displaystyle{ y=x+2}\)
jak będą wyglądały przedziały zbieżności i całka po wyliczeniu jednej całki?
Całka podwójna z obszarem ograniczonym
-
scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Całka podwójna z obszarem ograniczonym
znajdź punkty wspólne obu funkcji, czyli rozwiąż układ równań - będzie to ograniczenie na x. Na y ograniczeniem będą funkcje - która jest dolnym a która górnym musisz odczytać z wykresu.
\(\displaystyle{ x+2=3\sqrt(x)}\)
\(\displaystyle{ (x-1)(x-4)=0}\)
zatem mamy
\(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{4} t\limits_{x+2}^{3\sqrt{x}} \frac{2y}{x}dydx = t\limits_{1}^{4} \frac{1}{x} t\limits_{x+2}^{3\sqrt{x}} 2y dydx = t\limits_{1}^{4} \frac{1}{x} ft[ y^2 \right]_{x+2}^{3\sqrt{x}} dx = t\limits_{1}^{4} \frac{9x-(x+2)^2}{x} dx}\)
\(\displaystyle{ x+2=3\sqrt(x)}\)
\(\displaystyle{ (x-1)(x-4)=0}\)
zatem mamy
\(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{4} t\limits_{x+2}^{3\sqrt{x}} \frac{2y}{x}dydx = t\limits_{1}^{4} \frac{1}{x} t\limits_{x+2}^{3\sqrt{x}} 2y dydx = t\limits_{1}^{4} \frac{1}{x} ft[ y^2 \right]_{x+2}^{3\sqrt{x}} dx = t\limits_{1}^{4} \frac{9x-(x+2)^2}{x} dx}\)