Prosze o pomoc w rozwiązaniu następujących całek tylko prosze o dokładne rozpisanie bo ja sie w tym nie bardzo orientuję pozdrawiam
1) \(\displaystyle{ \int \ctg^{2}x dx}\)
2) \(\displaystyle{ \int (\sin\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{2}) dx}\)
3) \(\displaystyle{ \int \tg(5-3x) dx}\)
4) \(\displaystyle{ \int \frac {e^\sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx}\)
5) \(\displaystyle{ \int \frac {3x+5}{\sin^{2}x} dx}\)
Kilka ciekawych całek
-
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
Kilka ciekawych całek
2)
\(\displaystyle{ \int (sin\frac{x}{2} - cos\frac{x}{2}) dx =
t (sin\frac{x}{2} - sin(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2})) dx =
t (2cos\frac{\pi}{4}\cdot sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})) dx =
t \sqrt{2} sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}) dx =
\sqrt{2}\int sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}) dx\\
\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}=t\\
dx=2dt\\
\sqrt{2}\int sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}) dx=
2\sqrt{2}\int sint dt=...}\)
3)
\(\displaystyle{ \int tg(5-3x) dx \\
5-3x=t\\
-3 dx=dt\\
dx=-\frac{1}{3}dt\\
-\frac{1}{3}\int tg t dt=...\\}\)
4)
\(\displaystyle{ \int \frac {e^\sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx \\
\sqrt{x}=t\\
\frac{1}{2\sqrt{x}} dx=dt\\
\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2dt\\
2\int e^t dt=...}\)
POZDRO
\(\displaystyle{ \int (sin\frac{x}{2} - cos\frac{x}{2}) dx =
t (sin\frac{x}{2} - sin(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2})) dx =
t (2cos\frac{\pi}{4}\cdot sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})) dx =
t \sqrt{2} sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}) dx =
\sqrt{2}\int sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}) dx\\
\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}=t\\
dx=2dt\\
\sqrt{2}\int sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}) dx=
2\sqrt{2}\int sint dt=...}\)
3)
\(\displaystyle{ \int tg(5-3x) dx \\
5-3x=t\\
-3 dx=dt\\
dx=-\frac{1}{3}dt\\
-\frac{1}{3}\int tg t dt=...\\}\)
4)
\(\displaystyle{ \int \frac {e^\sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx \\
\sqrt{x}=t\\
\frac{1}{2\sqrt{x}} dx=dt\\
\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2dt\\
2\int e^t dt=...}\)
POZDRO
-
- Użytkownik
- Posty: 237
- Rejestracja: 3 sty 2007, o 14:30
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 63 razy
Kilka ciekawych całek
Śliczne dzieki a czy ktoś ma pomysł na pozostałe całki bo ja nie mam pojęcia jak je rozwiązać
-
- Użytkownik
- Posty: 374
- Rejestracja: 21 cze 2007, o 11:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łostowice
- Pomógł: 146 razy
Kilka ciekawych całek
\(\displaystyle{ \int ctg^{2}x dx = t \frac{cos^{2}x}{sin^{2}x} dx =
t \frac{ 1 - sin^{2}x}{sin^{2}x} dx = \\
t \frac{1}{sin^{2}x} dx - t \frac{sin^{2}x}{sin^{2}x} dx -ctg x - x + C}\)
t \frac{ 1 - sin^{2}x}{sin^{2}x} dx = \\
t \frac{1}{sin^{2}x} dx - t \frac{sin^{2}x}{sin^{2}x} dx -ctg x - x + C}\)
- steal
- Użytkownik
- Posty: 1043
- Rejestracja: 7 lut 2007, o 18:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok|Warszawa
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 160 razy
Kilka ciekawych całek
Przykład 5
\(\displaystyle{ \\ I=\int\frac{3x+5}{sin^2x}dx=3\int\frac{xdx}{sin^2x}+5\int\frac{dx}{sin^2x}=3\int\frac{xdx}{sin^2x}-5ctgx}\)
Obliczmy pierwszą całkę, dokonujemy podstawienia: \(\displaystyle{ tgx=t}\) czyli \(\displaystyle{ x=arctgt}\). Różniczkujemy pierwszą część: \(\displaystyle{ \frac{dx}{sin^2x}=dt}\) i podstawiamy:
\(\displaystyle{ \int \frac{xdx}{sin^2x}=\int arctgtdt}\). Ta całka idzie przez części:
\(\displaystyle{ u=arctgt}\) \(\displaystyle{ dv=dt}\)
\(\displaystyle{ du=\frac{dt}{1+t^2}}\) \(\displaystyle{ v=t}\)
\(\displaystyle{ I=tarctgt-\int\frac{t}{1+t^2}dt=tarctgt-\frac{1}{2}ln(1+t^2)+C}\). Powracamy do podstawienia i już
\(\displaystyle{ \\ I=\int\frac{3x+5}{sin^2x}dx=3\int\frac{xdx}{sin^2x}+5\int\frac{dx}{sin^2x}=3\int\frac{xdx}{sin^2x}-5ctgx}\)
Obliczmy pierwszą całkę, dokonujemy podstawienia: \(\displaystyle{ tgx=t}\) czyli \(\displaystyle{ x=arctgt}\). Różniczkujemy pierwszą część: \(\displaystyle{ \frac{dx}{sin^2x}=dt}\) i podstawiamy:
\(\displaystyle{ \int \frac{xdx}{sin^2x}=\int arctgtdt}\). Ta całka idzie przez części:
\(\displaystyle{ u=arctgt}\) \(\displaystyle{ dv=dt}\)
\(\displaystyle{ du=\frac{dt}{1+t^2}}\) \(\displaystyle{ v=t}\)
\(\displaystyle{ I=tarctgt-\int\frac{t}{1+t^2}dt=tarctgt-\frac{1}{2}ln(1+t^2)+C}\). Powracamy do podstawienia i już